Este resumo de dízima periódica para o ENEM apresenta o conceito, os tipos de repetição decimal e os procedimentos para encontrar a fração geratriz. O assunto relaciona números decimais, frações e números racionais, podendo aparecer em questões contextualizadas que exigem atenção à representação de uma quantidade.
Mais importante do que decorar um algoritmo é compreender por que certos algarismos se repetem indefinidamente. Ao identificar o período e a parte que não se repete, é possível transformar a dízima em uma fração e comparar valores com segurança. Esse conhecimento também ajuda a evitar confusões entre aproximações decimais e números que possuem repetição exata.
O que é dízima periódica?
Uma dízima periódica é uma representação decimal infinita na qual um ou mais algarismos se repetem seguindo sempre a mesma ordem. Em 0,333..., por exemplo, o algarismo 3 continua surgindo sem fim. Para indicar essa repetição, pode-se escrever 0,3̅ ou 0,(3), conforme a notação adotada.
O bloco que se repete é chamado de período. Assim, em 0,272727..., o período é 27; em 1,456456456..., ele é 456. A repetição não pode mudar ao longo da escrita: 0,1010010001... é infinito, mas não é dízima periódica, porque a organização dos algarismos não se repete em blocos iguais.
É fundamental distinguir dízima periódica de decimal exato. O número 2,75 possui quantidade finita de casas decimais, portanto é um decimal exato. Já 2,757575... não termina e repete o bloco 75, sendo uma dízima periódica. Ambos representam números racionais, mas têm escritas decimais diferentes.
Ideia central: a dízima periódica é infinita, mas não é aleatória. A repetição regular de um bloco de algarismos permite representá-la por uma fração.
Elementos e tipos de dízima
Para trabalhar com uma dízima, observe o que aparece depois da vírgula. Se a repetição começar imediatamente, trata-se de uma dízima periódica simples. Se houver algarismos antes do início da repetição, trata-se de uma dízima periódica composta. Essa classificação determina o procedimento usado na fração geratriz.
| Representação decimal | Tipo | Período | Antiperíodo |
|---|---|---|---|
| 0,666... | Simples | 6 | Não há |
| 2,1818... | Simples | 18 | Não há |
| 0,1222... | Composta | 2 | 1 |
| 3,14555... | Composta | 5 | 14 |
O antiperíodo é a parte decimal situada entre a vírgula e o período, mas que não se repete. Em 0,1222..., o 1 aparece uma única vez, enquanto o 2 se repete. Em 3,14555..., os algarismos 1 e 4 formam o antiperíodo, e o 5 é o período.
Também é útil considerar a parte inteira. No número 4,2727..., por exemplo, a parte inteira é 4 e o período é 27. Ela não altera a identificação do tipo de dízima, mas deve ser incluída corretamente nos cálculos com a fração geratriz.
Relação com os números racionais
Todo número racional pode ser escrito como divisão entre dois inteiros, com denominador diferente de zero. Quando essa divisão é efetuada, seu resultado decimal é exato ou periódico. Por isso, toda dízima periódica é um número racional e possui uma fração geratriz.
Por exemplo, 1 dividido por 3 produz 0,333..., logo 0,333... é igual a 1/3. De modo semelhante, 2/11 resulta em 0,181818..., e 7/6 resulta em 1,1666.... A repetição ocorre porque, em uma divisão, os restos possíveis são limitados. Se a divisão não termina, algum resto se repete, iniciando um ciclo nos algarismos do quociente.
Em contraste, números irracionais não podem ser escritos como razão entre dois inteiros. Suas expansões decimais são infinitas e não periódicas. O número pi, por exemplo, começa por 3,14159..., mas seus algarismos não formam um período fixo. Essa diferença é recorrente em classificações de conjuntos numéricos.
- Decimal finito: 0,25 = 1/4, portanto é racional.
- Dízima periódica: 0,121212... = 12/99 = 4/33, portanto é racional.
- Decimal infinito não periódico: não representa um número racional.
Uma igualdade importante é 0,999... = 1. Embora possa parecer que 0,999... seja menor, não existe número real entre ele e 1. Pela técnica da fração geratriz, se x = 0,999..., então 10x = 9,999...; ao subtrair x, obtém-se 9x = 9 e, portanto, x = 1.
Fração geratriz de período simples
A fração geratriz é a fração que representa exatamente uma dízima periódica. Para uma dízima simples, o método consiste em multiplicar o número por uma potência de 10 que desloque um período inteiro e, depois, subtrair as duas expressões. Desse modo, as partes repetidas se cancelam.
Exemplo com período de um algarismo
Considere x = 0,777.... Como o período tem um algarismo, multiplique por 10: 10x = 7,777.... Subtraindo a primeira igualdade da segunda, fica 10x − x = 7,777... − 0,777.... Logo, 9x = 7, e x = 7/9.
Exemplo com período de dois algarismos
Agora considere x = 0,232323.... O período 23 tem dois algarismos; portanto, multiplique por 100: 100x = 23,232323.... Ao fazer 100x − x, obtém-se 99x = 23. Assim, x = 23/99. Se numerador e denominador tiverem divisor comum, a fração deve ser simplificada.
Há um atalho compatível com esse raciocínio: em uma dízima simples menor que 1, escreva o período no numerador e coloque tantos algarismos 9 no denominador quantos forem os algarismos do período. Assim, 0,4̅ = 4/9, 0,58̅ = 58/99 e 0,125̅ = 125/999.
Para números com parte inteira, é possível aplicar o mesmo processo diretamente. Se x = 2,4545..., então 100x = 245,4545.... A subtração dá 99x = 243, logo x = 243/99 = 27/11. Outra possibilidade é separar 2 + 0,4545... e somar as frações obtidas.
Fração geratriz de período composto
Na dízima composta, é preciso eliminar primeiro o antiperíodo e, em seguida, alinhar os períodos para que a subtração funcione. A quantidade de casas do antiperíodo indica a primeira potência de 10; a soma dos tamanhos do antiperíodo e do período indica a segunda.
Considere x = 0,1222.... Há um algarismo no antiperíodo, o 1, e um no período, o 2. Multiplicando por 10, resulta 10x = 1,222.... Multiplicando por 100, resulta 100x = 12,222.... Agora subtraia: 100x − 10x = 12,222... − 1,222.... Portanto, 90x = 11 e x = 11/90.
Em x = 0,34555..., há dois algarismos no antiperíodo, 34, e um no período, 5. Então, 100x = 34,555... e 1000x = 345,555.... A diferença é 900x = 311; logo, x = 311/900. Note que o denominador contém um 9 para cada algarismo do período e um zero para cada algarismo do antiperíodo.
Esse padrão produz outro atalho: subtraia o número formado pela parte inteira, pelo antiperíodo e por um período do número formado apenas pela parte inteira e pelo antiperíodo. No denominador, escreva 9 para os algarismos do período e 0 para os do antiperíodo. Ainda assim, o método das multiplicações é mais seguro quando a escrita é longa ou quando há risco de identificar mal as partes da dízima.
Interpretação em questões do ENEM
No ENEM, dízimas periódicas podem surgir sem que a pergunta use necessariamente esse nome. Uma situação pode apresentar uma razão, uma divisão, uma medida ou uma porcentagem com casas decimais repetidas e pedir comparação, valor exato ou conversão de unidades. O primeiro passo é decidir se o decimal exibido é exato, uma aproximação ou uma dízima.
Se o enunciado escrever 0,333... ou indicar repetição por barra, o valor é exato e pode ser convertido em 1/3. Já quando apresenta 0,33 como resultado de uma medição, o contexto pode indicar arredondamento; nesse caso, não se deve concluir automaticamente que é 1/3. Os três pontos ou a barra sobre o período são sinais matemáticos relevantes.
Em alternativas, uma fração equivalente pode aparecer em forma simplificada. Por exemplo, 0,1666... gera 1/6, pois 0,1666... = 1/10 + 0,0666..., ou pelo algoritmo da dízima composta. Conferir a equivalência por multiplicação, estimativa ou divisão ajuda a reconhecer respostas escritas de formas diferentes.
- Localize o bloco que se repete e verifique se ele começa logo após a vírgula.
- Classifique a dízima em simples ou composta.
- Escolha a potência de 10 adequada ao número de casas envolvidas.
- Faça a subtração algébrica, isolando a incógnita.
- Simplifique a fração e retome a unidade ou o contexto pedido pela questão.
Também vale controlar a posição da vírgula. Em 0,090909..., o período é 09, não apenas 9. A fração geratriz é 9/99, que simplifica para 1/11. O zero inicial faz parte do período e precisa ser preservado ao definir a potência de 10 e o denominador.
Pontos de revisão
Uma dízima periódica tem decimal infinito com repetição regular; por isso, pertence ao conjunto dos números racionais. O período é o bloco repetido, e o antiperíodo é a parte decimal não repetida que antecede esse bloco. Dízimas simples não têm antiperíodo, enquanto as compostas têm.
Para obter a fração geratriz, multiplique a incógnita por potências de 10 até alinhar as partes periódicas e subtraia as igualdades. Em períodos simples, surgem denominadores com apenas algarismos 9; em períodos compostos, aparecem 9 correspondentes ao período e zeros correspondentes ao antiperíodo. Ao final, simplifique sempre que possível.
Revisão final: decimal finito e dízima periódica são racionais. Decimal infinito sem período é irracional. Antes de calcular, identifique com precisão onde a repetição começa, pois esse detalhe define todo o procedimento.
