Estas atividades sobre MMC e MDC com gabarito ajudam a reconhecer a diferença entre mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum, calcular cada um deles e aplicá-los em situações-problema. Esses conteúdos fazem parte do estudo de divisibilidade e aparecem com frequência no ensino fundamental II, especialmente em questões que envolvem ciclos, agrupamentos e repartições iguais.
Antes de resolver exercícios, é importante compreender o sentido das palavras. O MMC procura um número que seja múltiplo comum de dois ou mais números; o MDC procura um divisor comum. Embora os nomes sejam parecidos, as situações em que cada um é usado são diferentes. Ao fim do texto, confira atividades com resoluções comentadas e pontos essenciais para revisar.
Entenda MMC e MDC
O mínimo múltiplo comum (MMC) de dois ou mais números naturais é o menor número positivo que é múltiplo de todos eles. Um múltiplo é obtido pela multiplicação de um número por números naturais. Por exemplo, os múltiplos de 4 são 4, 8, 12, 16, 20 e assim por diante.
Para encontrar o MMC de 4 e 6, podemos listar alguns múltiplos. Os de 4 são 4, 8, 12, 16, 20, 24; os de 6 são 6, 12, 18, 24. O primeiro múltiplo que aparece nas duas listas é 12. Portanto, MMC(4, 6) = 12.
O máximo divisor comum (MDC) de dois ou mais números naturais é o maior divisor que eles possuem em comum. Um divisor é um número que divide outro exatamente, sem deixar resto. Os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Já os divisores de 18 são 1, 2, 3, 6, 9 e 18. O maior divisor comum é 6; logo, MDC(12, 18) = 6.
Uma ideia prática: o MMC costuma responder a perguntas sobre acontecimentos que se repetem juntos. O MDC é usado, em geral, para dividir quantidades em grupos iguais, buscando o maior tamanho possível para cada grupo.
Métodos para calcular MMC e MDC
Listar múltiplos e divisores funciona bem com números pequenos. Porém, quando os números são maiores, a decomposição em fatores primos é mais eficiente. Para isso, divide-se cada número sucessivamente por números primos, como 2, 3, 5, 7 e 11.
Considere os números 24 e 36. Suas decomposições são: 24 = 2³ × 3 e 36 = 2² × 3². Para calcular o MMC, escolhem-se todos os fatores primos que aparecem, usando o maior expoente de cada um: 2³ × 3² = 8 × 9 = 72. Assim, MMC(24, 36) = 72.
Para o MDC, utilizam-se somente os fatores que aparecem em todas as decomposições, com o menor expoente: 2² × 3 = 4 × 3 = 12. Portanto, MDC(24, 36) = 12.
| Critério | MMC | MDC |
|---|---|---|
| Fatores considerados | Todos os fatores presentes | Apenas os fatores comuns |
| Expoente escolhido | O maior expoente | O menor expoente |
| Resultado em relação aos números | É múltiplo de todos | É divisor de todos |
| Uso mais comum | Coincidência de ciclos | Divisão em grupos iguais |
Há ainda o método da divisão simultânea, no qual os números são escritos lado a lado e divididos por fatores primos. Para o MMC, multiplicam-se todos os divisores usados até que todos os números se reduzam a 1. Para o MDC, multiplicam-se apenas os divisores que dividiram todos os números da linha ao mesmo tempo.
Como identificar o conceito no problema
Nem toda questão menciona diretamente MMC ou MDC. Por isso, observe a ideia central do enunciado. Palavras como “ao mesmo tempo”, “novamente juntos”, “de quantos em quantos” e “coincidir” frequentemente indicam o uso do MMC. Elas mostram que eventos periódicos precisam ocorrer simultaneamente.
Já expressões como “maior quantidade possível”, “grupos iguais”, “sem sobrar”, “maior medida” e “dividir igualmente” costumam indicar o MDC. Nesse caso, procura-se uma quantidade que divida todos os valores sem resto e que seja a maior possível.
- Use o MMC para determinar quando ciclos diferentes voltarão a coincidir.
- Use o MMC para encontrar um denominador comum em algumas operações com frações.
- Use o MDC para formar grupos iguais e maximizar a quantidade em cada grupo.
- Use o MDC para simplificar frações, dividindo numerador e denominador pelo mesmo fator comum.
Uma verificação simples evita muitos erros: depois de encontrar o MMC, divida-o por cada número inicial. As divisões devem ser exatas. Depois de encontrar o MDC, divida cada número inicial pelo resultado. Também devem ser divisões exatas.
Atividades de MMC com gabarito
Resolva as questões primeiro e consulte as explicações depois. Sempre que possível, faça a decomposição em fatores primos para justificar o cálculo.
- Calcule MMC(8, 12).
- Calcule MMC(15, 20).
- Calcule MMC(6, 10, 15).
- Encontre o menor número que é múltiplo de 9 e de 14.
Gabarito comentado
1. MMC(8, 12) = 24. De fato, 8 = 2³ e 12 = 2² × 3. Selecionando os maiores expoentes, temos 2³ × 3 = 24.
2. MMC(15, 20) = 60. Como 15 = 3 × 5 e 20 = 2² × 5, o MMC é 2² × 3 × 5, que resulta em 60.
3. MMC(6, 10, 15) = 30. As decomposições são 6 = 2 × 3, 10 = 2 × 5 e 15 = 3 × 5. Assim, reunimos os fatores 2, 3 e 5: 2 × 3 × 5 = 30.
4. O menor múltiplo comum de 9 e 14 é 126. Como 9 = 3² e 14 = 2 × 7, não há fatores comuns; então MMC = 2 × 3² × 7 = 126.
Atividades de MDC com gabarito
Agora, observe que o objetivo é encontrar o maior divisor compartilhado pelos números apresentados.
- Calcule MDC(18, 30).
- Calcule MDC(42, 56).
- Calcule MDC(24, 36, 60).
- Determine o maior número que divide 48 e 72 sem deixar resto.
Gabarito comentado
1. MDC(18, 30) = 6. Temos 18 = 2 × 3² e 30 = 2 × 3 × 5. Os fatores comuns com menores expoentes são 2 e 3; portanto, 2 × 3 = 6.
2. MDC(42, 56) = 14. A decomposição de 42 é 2 × 3 × 7, enquanto 56 = 2³ × 7. Os fatores comuns são 2 e 7, e o produto é 14.
3. MDC(24, 36, 60) = 12. As decomposições são 24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3² e 60 = 2² × 3 × 5. Os fatores presentes nos três números são 2² e 3. Logo, 4 × 3 = 12.
4. O maior divisor comum de 48 e 72 é 24. Esse número divide 48 em 2 partes e 72 em 3 partes, sem resto.
Problemas com MMC e MDC
Questão 1. Dois alarmes tocam em intervalos regulares. O primeiro toca a cada 12 minutos, e o segundo, a cada 18 minutos. Se tocaram juntos agora, depois de quanto tempo tocarão juntos novamente?
Resolução: trata-se de coincidência de ciclos, portanto usamos o MMC. Como 12 = 2² × 3 e 18 = 2 × 3², MMC(12, 18) = 2² × 3² = 36. Os alarmes tocarão juntos novamente após 36 minutos.
Questão 2. Uma professora tem 36 lápis e 48 borrachas para montar kits idênticos, sem sobrar nenhum material. Qual é o maior número de kits que ela pode montar?
Resolução: é preciso dividir os dois totais em grupos iguais e obter a maior quantidade possível de grupos. Calculamos MDC(36, 48). Como 36 = 2² × 3² e 48 = 2⁴ × 3, o MDC é 2² × 3 = 12. Ela pode montar 12 kits, cada um com 3 lápis e 4 borrachas.
Questão 3. Uma faixa retangular mede 84 cm de comprimento e 60 cm de largura. Ela será cortada em quadrados iguais e do maior tamanho possível, sem desperdício. Qual será a medida do lado de cada quadrado?
Resolução: o lado do quadrado deve dividir exatamente as duas medidas e ser o maior possível. Portanto, calculamos MDC(84, 60). Como 84 = 2² × 3 × 7 e 60 = 2² × 3 × 5, MDC = 2² × 3 = 12. Cada quadrado terá lado de 12 cm.
Pontos de revisão
MMC e MDC dependem da noção de divisibilidade, mas resolvem perguntas diferentes. O MMC é o menor múltiplo compartilhado e aparece em ciclos que precisam coincidir. O MDC é o maior divisor compartilhado e aparece em repartições ou medidas iguais.
- No MMC, reúna todos os fatores primos necessários com os maiores expoentes.
- No MDC, mantenha somente os fatores comuns com os menores expoentes.
- Em problemas, identifique se a situação fala de coincidência de eventos ou de divisão máxima em partes iguais.
- Confira o resultado realizando divisões exatas pelos números do enunciado.
Ao praticar, não se limite a decorar regras. Escreva as decomposições, explique por que selecionou cada fator e relacione o cálculo à situação apresentada. Esse procedimento torna a escolha entre MMC e MDC mais segura.
