As características dos números inteiros envolvem a presença de números negativos, do zero e de números positivos, sem incluir frações nem decimais não inteiros. Esse conjunto é representado pela letra Z e ajuda a descrever situações em que há ganhos e perdas, temperaturas acima ou abaixo de zero, andares de um prédio e posições em uma reta.
Compreender esse conjunto é importante porque ele amplia a ideia inicial de número natural. Ao trabalhar apenas com naturais, uma subtração como 3 − 8 não tem resultado nesse conjunto. Já entre os inteiros, essa operação é possível: 3 − 8 = −5. Por isso, os inteiros permitem resolver problemas que exigem indicar falta, redução, oposição ou deslocamento em sentidos contrários.
O que são os números inteiros
O conjunto dos números inteiros é indicado por Z e pode ser escrito assim: Z = {…, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, …}. As reticências mostram que não existe primeiro número negativo nem último número positivo: o conjunto é infinito nos dois sentidos.
Fazem parte de Z os números que não possuem parte decimal ou fracionária. Portanto, −12, 0, 7 e 250 são inteiros. Em contrapartida, 1,5, −0,8, 2/3 e 3,14 não são números inteiros. É importante observar que um número pode ser negativo e, ainda assim, ser inteiro; o sinal de menos não o transforma em fração ou decimal.
Subconjuntos mais usados
Em alguns contextos, os inteiros são divididos para destacar seus elementos. Os inteiros não negativos incluem o zero e os positivos. Já os inteiros não positivos incluem o zero e os negativos. Essa classificação facilita a leitura de enunciados e a definição de regras em exercícios.
- Z+: inteiros positivos, como 1, 2, 3 e 4.
- Z−: inteiros negativos, como −1, −2, −3 e −4.
- Z*: inteiros não nulos, isto é, todos os inteiros, exceto o zero.
- Z+ ∪ {0}: inteiros não negativos, como 0, 1, 2 e 3.
As notações podem variar um pouco entre livros, especialmente quanto à inclusão do zero em Z+ e Z−. Por isso, é recomendável verificar a convenção apresentada no enunciado ou no material didático.
Principais características do conjunto Z
Uma característica central dos inteiros é que eles possuem ordem. Para dois números inteiros diferentes, sempre é possível decidir qual é maior e qual é menor. Por exemplo, 6 é maior que −2, e −9 é menor que −4. O símbolo > significa “maior que”, enquanto < significa “menor que”.
O zero ocupa uma posição especial: não é positivo nem negativo. Ele representa ausência de quantidade em muitos contextos e funciona como referência na reta numérica. Além disso, é o elemento neutro da adição, pois somar zero a qualquer inteiro não altera seu valor: −8 + 0 = −8.
Todo inteiro diferente de zero tem um oposto, também chamado de simétrico aditivo. O oposto de 5 é −5; o oposto de −11 é 11. A soma de um número e seu oposto sempre resulta em zero. Em símbolos, para qualquer inteiro a, vale a + (−a) = 0.
Atenção: módulo e oposto não são a mesma coisa. O oposto de −7 é 7, enquanto o módulo de −7, escrito |−7|, é a distância entre −7 e zero, também igual a 7. O módulo nunca é negativo.
Comparação e reta numérica
A reta numérica é uma representação visual dos inteiros em ordem crescente. O zero fica no centro; os números positivos aparecem à direita e os negativos, à esquerda. Quanto mais à direita estiver um número, maior ele será. Quanto mais à esquerda, menor será.
Essa regra evita um erro frequente: imaginar que −10 é maior que −3 porque 10 é maior que 3. Na realidade, −10 está mais à esquerda na reta e, portanto, é menor que −3. Entre números negativos, aquele que tem maior módulo é o menor deles.
| Comparação | Conclusão | Justificativa |
|---|---|---|
| 8 e −1 | 8 > −1 | Todo positivo é maior que qualquer negativo. |
| 0 e −6 | 0 > −6 | O zero fica à direita dos negativos. |
| −2 e −9 | −2 > −9 | −2 está mais próximo de zero. |
| −5 e 5 | −5 < 5 | São opostos; o positivo fica à direita. |
O módulo é útil nessa leitura porque mede a distância até o zero. Assim, |−4| = 4 e |4| = 4. Dois números opostos têm o mesmo módulo, embora ocupem posições diferentes na reta numérica.
Operações com números inteiros
As quatro operações podem ser realizadas com inteiros, mas os sinais exigem atenção. Na adição de números com sinais iguais, somam-se os módulos e conserva-se o sinal comum. Por exemplo, −6 + (−3) = −9. Na adição de sinais diferentes, subtraem-se os módulos e mantém-se o sinal do número de maior módulo: −10 + 4 = −6.
A subtração pode ser transformada em adição do oposto. Essa é uma estratégia segura para evitar confusões: 7 − 12 equivale a 7 + (−12), que resulta em −5. Do mesmo modo, −4 − (−9) equivale a −4 + 9, logo resulta em 5. Subtrair um número negativo corresponde a adicionar seu oposto positivo.
Multiplicação e divisão
Na multiplicação e na divisão, primeiro determina-se o sinal e depois se opera com os módulos. Sinais iguais produzem resultado positivo; sinais diferentes produzem resultado negativo. Por exemplo, (−4) × (−3) = 12, enquanto (−4) × 3 = −12. As mesmas regras valem para a divisão: −20 ÷ 5 = −4 e −20 ÷ (−5) = 4.
- Identifique os sinais dos números envolvidos.
- Use a regra de sinais adequada à operação.
- Calcule os valores absolutos ou módulos.
- Associe o sinal obtido ao resultado numérico.
Não é possível dividir por zero. Assim, expressões como 15 ÷ 0 não possuem resultado definido. Já 0 dividido por um inteiro diferente de zero resulta em zero, como em 0 ÷ (−3) = 0.
Propriedades das operações
O conjunto dos inteiros é fechado para adição, subtração e multiplicação. Isso significa que, ao somar, subtrair ou multiplicar dois inteiros, o resultado continuará sendo inteiro. Por exemplo, −7 + 2 = −5 e 3 × (−8) = −24. A divisão, porém, não apresenta essa propriedade: 5 ÷ 2 = 2,5, que não pertence a Z.
A adição e a multiplicação são comutativas: a ordem dos termos não altera o resultado. Portanto, −3 + 8 = 8 + (−3), e (−2) × 6 = 6 × (−2). Essas operações também são associativas, o que permite agrupar parcelas ou fatores de maneiras diferentes sem modificar o resultado.
Além do zero como elemento neutro da adição, o número 1 é o elemento neutro da multiplicação: qualquer inteiro multiplicado por 1 permanece igual a si mesmo. A propriedade distributiva relaciona multiplicação e adição, como em 3 × [2 + (−5)] = 3 × 2 + 3 × (−5).
Números inteiros no cotidiano
Os inteiros aparecem quando uma situação pode ser medida a partir de uma referência e admite valores em direções opostas. Em temperaturas, 6 °C indica uma temperatura acima de zero, enquanto −6 °C indica uma temperatura abaixo de zero. Em um elevador, andares subterrâneos podem ser identificados por −1, −2 e −3.
Também é comum usar inteiros em saldos simplificados. Um depósito de 100 reais pode ser representado por +100, e uma retirada de 40 reais, por −40. A expressão +100 + (−40) resulta em 60. Em jogos, pontuações perdidas, penalidades e posições relativas também podem ser descritas com números positivos e negativos.
O sinal de um número não indica se ele é “bom” ou “ruim”; ele apenas mostra sua posição em relação a uma referência definida pela situação.
Síntese para revisar
Os números inteiros formam o conjunto Z e incluem negativos, zero e positivos. Não incluem frações, decimais não inteiros ou números irracionais. Na reta numérica, os valores crescem da esquerda para a direita, o que explica por que −3 é maior que −8.
Para resolver operações, interprete cuidadosamente os sinais e os parênteses. Em adições com sinais diferentes, compare os módulos; em subtrações, transforme a expressão em uma adição do oposto; em multiplicações e divisões, aplique a regra de sinais. Lembrar dessas ideias torna mais simples analisar problemas com temperaturas, saldos, deslocamentos e outras grandezas relativas.
