Teorema de Tales: exercícios resolvidos passo a passo envolvem reconhecer retas paralelas cortadas por transversais e montar proporções entre segmentos correspondentes. Em vez de decorar uma fórmula isolada, o mais importante é observar a posição de cada medida na figura, escrever uma igualdade entre razões e resolver a equação obtida.
Esse teorema aparece com frequência na geometria plana, especialmente em problemas com triângulos divididos por uma reta paralela a um de seus lados. Também pode surgir em desenhos de ruas, sombras, escalas e situações que representem partes proporcionais. A mesma ideia está ligada à semelhança de triângulos.
O que diz o Teorema de Tales
Em uma formulação escolar comum, se várias retas paralelas são cortadas por duas retas transversais, os segmentos determinados em uma transversal são proporcionais aos segmentos correspondentes determinados na outra. A palavra-chave é correspondentes: são os trechos que ficam entre o mesmo par de paralelas.
Imagine três paralelas cortadas por duas transversais. Em uma transversal, os segmentos medem 4 cm e 6 cm; na outra, os segmentos correspondentes medem 10 cm e x. Como as paralelas garantem a proporcionalidade, podemos escrever:
4/6 = 10/x
Logo, 4x = 60 e x = 15 cm.
Outra aplicação muito usada ocorre dentro de um triângulo. Se uma reta paralela a um lado corta os outros dois lados, ela forma um triângulo menor semelhante ao original. Assim, as divisões feitas nos dois lados são proporcionais. Por exemplo, se D está em AB, E está em AC e DE é paralelo a BC, então AD/DB = AE/EC.
Não é necessário que a figura esteja desenhada em tamanho real. Diagramas podem ser inclinados, ampliados ou simplificados. O que valida o uso do teorema não é a aparência do desenho, mas a informação de paralelismo indicada no enunciado ou por marcas na figura.
Como identificar a aplicação
Antes de fazer contas, verifique se a situação apresenta a estrutura necessária. Em exercícios, as retas paralelas podem ser indicadas pelo símbolo //, por setas iguais sobre os segmentos ou por uma frase como “r é paralela a s”. Sem paralelismo, não se deve aplicar o Teorema de Tales automaticamente.
- Localize as retas que são paralelas entre si.
- Identifique as duas transversais que cortam essas paralelas.
- Separe os segmentos formados entre pares consecutivos de paralelas.
- Associe cada segmento ao trecho que ocupa a mesma posição na outra transversal.
- Monte uma razão usando grandezas da mesma unidade e mantenha a ordem escolhida.
Em triângulos, procure uma reta interna paralela a um dos lados. Se ela corta os dois outros lados, haverá duas maneiras equivalentes de trabalhar: comparar os segmentos menores com os maiores, como AD/AB = AE/AC, ou comparar as partes em que os lados foram divididos, como AD/DB = AE/EC.
| Situação observada | Proporção possível |
|---|---|
| Paralelas cortadas por duas transversais | segmento 1/segmento 2 = correspondente 1/correspondente 2 |
| Reta DE paralela a BC no triângulo ABC | AD/AB = AE/AC |
| Mesma figura triangular | AD/DB = AE/EC |
Passo a passo para resolver
Uma resolução organizada reduz trocas de medidas e torna mais fácil conferir o resultado. Primeiro, reescreva os dados usando nomes dos pontos ou uma descrição clara dos segmentos. Depois, escolha uma única relação de proporcionalidade. Não é preciso escrever todas as proporções possíveis: uma que contenha a incógnita e medidas conhecidas é suficiente.
- Marque mentalmente ou no rascunho quais segmentos são correspondentes.
- Escreva a igualdade de razões sem misturar posições: menor com menor, maior com maior, ou parte superior com parte superior.
- Faça a multiplicação cruzada.
- Isole a incógnita e informe a unidade de medida, quando houver.
- Confira se o valor faz sentido na figura e na relação entre os segmentos.
A conferência é importante. Se um segmento correspondente passou de 3 para 12, o fator de ampliação foi 4. Portanto, outro segmento de 5 deveria passar para 20. Se o cálculo produzir 1,25, provavelmente as razões foram invertidas ou algum número foi copiado de forma incorreta.
Exercícios resolvidos
Exercício 1: duas transversais
Três retas paralelas são cortadas por duas transversais. Na primeira transversal, os segmentos entre a primeira e a segunda paralela e entre a segunda e a terceira medem, respectivamente, 8 cm e 12 cm. Na segunda, os segmentos correspondentes medem 10 cm e x. Determine x.
Como 8 corresponde a 10 e 12 corresponde a x, montamos 8/12 = 10/x. Pela multiplicação cruzada, 8x = 12 × 10. Então, 8x = 120 e x = 15. O segmento procurado mede 15 cm.
Exercício 2: segmento paralelo em um triângulo
No triângulo ABC, os pontos D e E pertencem, respectivamente, aos lados AB e AC. Sabe-se que DE é paralelo a BC, AD mede 6 cm, DB mede 9 cm e AE mede 8 cm. Calcule EC.
Como DE é paralelo a BC, as divisões dos lados AB e AC são proporcionais: AD/DB = AE/EC. Substituindo, 6/9 = 8/EC. Fazendo a multiplicação cruzada, 6EC = 72. Portanto, EC = 12. A resposta é 12 cm.
Também seria possível usar os lados inteiros. Como AB = 6 + 9 = 15 e AC = 8 + EC, teríamos 6/15 = 8/AC. Daí, AC = 20 e EC = 20 − 8 = 12. Os dois caminhos chegam ao mesmo valor.
Exercício 3: encontrando uma medida com decimais
Em duas transversais cortadas por paralelas, um segmento de 4,5 cm corresponde a outro de 7,5 cm. Se, na primeira transversal, um segundo segmento mede 6 cm, qual é a medida y do segmento correspondente na segunda?
Escrevemos 4,5/6 = 7,5/y. Multiplicando em cruz, 4,5y = 45. Assim, y = 45/4,5 = 10. O valor procurado é 10 cm. Os números decimais não mudam o princípio: basta manter as correspondências corretas e executar a divisão com atenção.
Erros comuns
O erro mais frequente é comparar segmentos que não ocupam posições equivalentes. Em uma transversal, o trecho entre a primeira e a segunda paralela deve ser comparado ao trecho entre essas mesmas paralelas na outra transversal. Outro problema é inverter apenas uma das frações. Se a primeira razão é AD/DB, a outra deve seguir a mesma orientação: AE/EC, e não EC/AE.
Também é comum esquecer que uma medida total pode ser formada pela soma de partes. No exercício 2, AB não era 9 nem 6, mas 15. Sempre leia se o enunciado fornece uma parte do lado ou o lado inteiro. Por fim, não conclua paralelismo apenas porque duas linhas parecem paralelas no desenho: essa informação precisa estar explícita ou marcada.
O Teorema de Tales estabelece proporções; ele não permite somar, subtrair ou igualar segmentos sem justificar a relação usada.
Pontos de revisão
Para revisar, retenha quatro ideias. Primeiro, o teorema depende de retas paralelas cortadas por transversais. Segundo, os segmentos correspondentes são proporcionais. Terceiro, em triângulos, uma reta paralela a um lado cria relações entre as divisões dos outros lados. Quarto, a ordem das razões deve ser conservada do início ao fim.
Ao enfrentar um novo exercício, não comece pela multiplicação cruzada. Comece identificando as paralelas, os segmentos e as correspondências. Depois, escreva uma proporção coerente, resolva a incógnita e teste se a resposta é compatível com o fator de ampliação ou redução observado. Esse procedimento é mais seguro do que tentar decorar modelos prontos.
