Tudo sobre números racionais

Números racionais são todos os números que podem ser escritos na forma de uma fração a/b, em que a e b são números inteiros e b é diferente de zero. Eles incluem os números inteiros, as frações, os decimais exatos e as dízimas periódicas. Esse conjunto é muito usado para representar partes de um todo, medidas, porcentagens, razões e valores com vírgula.

Por exemplo, 3/4, -2, 0, 1,25 e 0,333... são racionais. Já números como √2 e π não pertencem a esse conjunto, pois sua escrita decimal é infinita e não apresenta repetição de um período. Para compreender o tema, é importante relacionar frações, decimais e posições na reta numérica.

Conceito e conjunto Q

O conjunto dos números racionais é indicado pela letra Q. Seu nome vem da palavra italiana quoziente, que significa quociente, isto é, o resultado de uma divisão. Formalmente, escreve-se Q = {a/b | a e b são inteiros e b ≠ 0}.

Nessa definição, o numerador a pode ser positivo, negativo ou zero. O denominador b também pode ser positivo ou negativo, mas nunca pode ser zero. A divisão por zero não é definida na matemática: não existe um número que, multiplicado por zero, produza um valor diferente de zero.

Todo número inteiro é racional. Isso ocorre porque qualquer inteiro pode ser colocado sobre 1. Assim, 8 = 8/1, -5 = -5/1 e 0 = 0/1. Além disso, uma mesma quantidade racional pode ter muitas escritas fracionárias equivalentes: 1/2, 2/4, 3/6 e 50/100 representam o mesmo número.

Formas de representação

Um número racional pode aparecer de diferentes maneiras, sem que seu valor seja alterado. Reconhecer essas formas evita erros em exercícios e facilita os cálculos. As representações mais frequentes são a fração, o número inteiro, o decimal exato, a dízima periódica e a porcentagem.

Para transformar uma fração em decimal, divide-se o numerador pelo denominador. Por exemplo, 7/8 = 0,875. Para transformar um decimal exato em fração, pode-se retirar a vírgula e usar como denominador uma potência de 10. Como 1,2 tem uma casa decimal, 1,2 = 12/10 = 6/5.

Também é possível simplificar frações, dividindo numerador e denominador pelo mesmo divisor diferente de zero. A fração 18/24, por exemplo, pode ser dividida por 6 e resulta em 3/4. Simplificar não muda o valor, apenas produz uma forma mais simples de representar o número.

Como identificar números racionais

Uma maneira prática de verificar se um número é racional é observar sua expressão decimal. Todo decimal que termina ou que se repete periodicamente é racional. Em contraste, um decimal infinito sem padrão de repetição é irracional.

• Inteiros: -12, 0 e 46 são racionais, pois podem ser escritos com denominador 1.
• Frações: 5/9, -11/4 e 0/7 são racionais. Note que 0/7 vale zero.
• Decimais exatos: 0,4; -3,125 e 12,01 são racionais.
• Dízimas periódicas: 0,666..., 1,4545... e 2,1333... são racionais, porque há repetição.
• Irracionais: √3, π e 0,1010010001... não são racionais.

É preciso distinguir uma dízima periódica de uma escrita apenas aproximada. Quando se escreve 1/3 = 0,333..., as reticências indicam que o algarismo 3 continua para sempre. Já 0,33 pode ser somente um decimal exato, equivalente a 33/100, caso não haja indicação de continuidade.

Período e anteperíodo

O bloco que se repete em uma dízima é chamado de período. Em 0,777..., o período é 7. Em 0,121212..., o período é 12. Algumas dízimas têm uma parte inicial que não se repete, denominada anteperíodo. Em 0,1666..., o algarismo 1 é o anteperíodo, e 6 é o período.

A existência do período é o que permite converter a dízima em fração. Por exemplo, 0,333... corresponde a 1/3; 0,666... corresponde a 2/3. Portanto, embora a expansão decimal não termine, ela ainda representa um número racional exato.

Operações com números racionais

As quatro operações podem ser realizadas com números racionais. Ao trabalhar com frações, é essencial respeitar as regras de cada operação, especialmente na soma e na subtração, que exigem denominadores iguais.

Adição e subtração

Se as frações têm o mesmo denominador, somam-se ou subtraem-se os numeradores e conserva-se o denominador: 2/9 + 4/9 = 6/9 = 2/3. Quando os denominadores são diferentes, deve-se encontrar um denominador comum. Em 1/4 + 1/6, o mínimo múltiplo comum entre 4 e 6 é 12. Logo, 1/4 = 3/12 e 1/6 = 2/12; portanto, a soma é 5/12.

Na subtração, o procedimento é semelhante. Para calcular 5/6 - 1/4, pode-se usar 12 como denominador comum: 5/6 = 10/12 e 1/4 = 3/12. Assim, 10/12 - 3/12 = 7/12. Os sinais devem ser observados com atenção, sobretudo quando há números negativos.

Multiplicação e divisão

Na multiplicação, multiplica-se numerador por numerador e denominador por denominador: 3/5 × 10/9 = 30/45 = 2/3. Muitas vezes, é possível simplificar fatores antes de multiplicar, o que reduz as contas.

Na divisão de frações, mantém-se a primeira fração e multiplica-se pelo inverso da segunda. Por exemplo, 2/3 ÷ 5/4 = 2/3 × 4/5 = 8/15. O inverso de 5/4 é 4/5. A única restrição é que a fração usada como divisor não pode valer zero.

1. Identifique a operação solicitada.
2. Em soma ou subtração, obtenha denominadores iguais.
3. Em multiplicação, multiplique os termos correspondentes.
4. Em divisão, multiplique pelo inverso da segunda fração.
5. Simplifique o resultado sempre que possível.

Comparação e reta numérica

Na reta numérica, os números aumentam da esquerda para a direita. Assim, todo número negativo é menor que zero, e todo número positivo é maior que zero. Entre dois números negativos, o que está mais distante de zero é o menor: -8 é menor que -3.

Para comparar frações positivas com o mesmo denominador, é maior a que possui maior numerador. Logo, 7/10 é maior que 3/10. Com o mesmo numerador, é maior a fração com menor denominador: 3/4 é maior que 3/7, pois quatro partes são maiores que sete partes quando o todo é o mesmo.

Quando numeradores e denominadores são diferentes, uma estratégia é usar denominador comum ou comparar produtos cruzados. Para verificar qual é maior entre 5/6 e 7/9, comparam-se 5 × 9 = 45 e 7 × 6 = 42. Como 45 é maior que 42, conclui-se que 5/6 é maior que 7/9. Esse método funciona diretamente quando os denominadores são positivos.

Outra possibilidade é transformar os valores em decimais: 5/6 é aproximadamente 0,833..., enquanto 7/9 é aproximadamente 0,777.... Contudo, em cálculos exatos, manter as frações costuma ser mais seguro do que arredondar decimais.

Decimais e dízimas periódicas

Os números decimais racionais podem ser exatos ou periódicos. Um decimal exato possui quantidade finita de algarismos depois da vírgula, como 4,75. Já uma dízima periódica possui infinitos algarismos, mas um ou mais deles se repetem em uma sequência regular, como 0,181818....

Há uma relação importante entre o denominador de uma fração simplificada e sua forma decimal. Quando o denominador possui somente os fatores primos 2 e 5, a divisão gera um decimal exato. Por exemplo, 3/20 = 0,15, e 7/8 = 0,875. Quando há outros fatores primos no denominador, como 3 em 1/3 ou 11 em 2/11, a representação decimal será periódica.

Para perceber por que 1/3 produz uma dízima, basta efetuar a divisão. Ao dividir 1 por 3, obtém-se 0,3 e resta 1 novamente. Como o mesmo resto reaparece, os passos da divisão se repetem indefinidamente. Essa repetição gera o período.

Síntese para revisar

Os racionais formam um conjunto amplo e presente em situações cotidianas, como dividir uma pizza, calcular descontos, medir comprimentos e interpretar notas ou médias. O ponto decisivo é saber se o número pode ser expresso como razão entre dois inteiros, sem usar zero no denominador.

• Q é o conjunto dos números que podem ser escritos como a/b, com b diferente de zero.
• Inteiros, frações, decimais exatos e dízimas periódicas são racionais.
• Todo inteiro pode ser escrito sobre 1.
• Na adição e na subtração de frações, os denominadores precisam ser iguais.
• Na divisão, multiplica-se pela fração inversa do divisor.
• Decimais infinitos sem período, como π e √2, são irracionais.

Ao resolver questões, procure converter as representações para a forma mais conveniente. Frações ajudam em resultados exatos; decimais facilitam leituras de medidas e comparações aproximadas. Com prática, a passagem entre essas formas torna-se um procedimento natural.