Como usar o simulado
Este simulado de números primos reúne questões para praticar a identificação de números primos e compostos, os divisores, a decomposição em fatores primos e problemas que envolvem essas ideias. Para aproveitá-lo, resolva primeiro as questões sem consultar o gabarito. Depois, compare seu raciocínio com os comentários e anote os conceitos que precisam ser retomados.
Números primos aparecem com frequência em exercícios de divisibilidade, mínimo múltiplo comum, máximo divisor comum, frações e potenciação. Em avaliações, a maior dificuldade costuma não ser decorar uma lista de primos, mas reconhecer rapidamente quando um número possui apenas dois divisores positivos. Por isso, é importante combinar definição, critérios de divisibilidade e cálculo organizado.
Orientação: considere os divisores positivos. Assim, todo número natural maior que 1 é primo ou composto. O número 1 não pertence a nenhum desses dois grupos.
O que são números primos
Um número natural maior que 1 é primo quando tem exatamente dois divisores positivos distintos: o número 1 e ele próprio. Por exemplo, 2 só pode ser dividido exatamente por 1 e por 2; portanto, é primo. O mesmo acontece com 3, 5, 7, 11 e 13.
Já um número natural maior que 1 é composto quando possui mais de dois divisores positivos. O número 12, por exemplo, é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Como tem vários divisores, é composto. Todo número composto pode ser escrito como produto de números primos, processo chamado de fatoração ou decomposição em fatores primos.
| Número | Divisores positivos | Classificação |
|---|---|---|
| 1 | 1 | Nem primo nem composto |
| 2 | 1 e 2 | Primo |
| 9 | 1, 3 e 9 | Composto |
| 17 | 1 e 17 | Primo |
| 25 | 1, 5 e 25 | Composto |
Dois casos merecem atenção. O 1 não é primo porque apresenta apenas um divisor positivo. Já o 2 é o único número primo par: todos os outros números pares são divisíveis por 2 e por eles mesmos, tendo pelo menos três divisores positivos.
Critérios para identificar números primos
Para decidir se um número é primo, não é necessário testar todos os números menores que ele. Primeiro, verifique se ele é maior que 1. Em seguida, elimine possibilidades evidentes usando critérios de divisibilidade. Se o número for par e diferente de 2, ele é composto. Se terminar em 0 ou 5 e for maior que 5, também será composto, pois é divisível por 5.
Outro critério útil é o da divisibilidade por 3: some os algarismos. Se a soma for múltipla de 3, o número original também será divisível por 3. Por exemplo, em 237, temos 2 + 3 + 7 = 12. Como 12 é múltiplo de 3, 237 é divisível por 3 e, sendo maior que 3, é composto.
Até onde testar os divisores
Para números maiores, basta investigar divisores primos até a raiz quadrada aproximada do número. Se um número composto tiver dois fatores maiores que sua raiz quadrada, o produto deles seria maior que o próprio número, o que é impossível. Assim, para verificar se 97 é primo, basta testar os primos até 9, pois 9 é menor que 10 e 10 é aproximadamente a raiz de 97: 2, 3, 5 e 7 não dividem 97. Logo, 97 é primo.
- Verifique primeiro se o número é 0 ou 1: nenhum dos dois é primo.
- Teste a divisão por 2, 3 e 5 quando os critérios forem aplicáveis.
- Se necessário, teste outros primos menores ou iguais à raiz quadrada aproximada.
- Não confunda um número ímpar com um número primo: 15, 21 e 27 são ímpares, mas compostos.
Estratégias de resolução
Em questões objetivas, observe a estrutura do enunciado antes de fazer cálculos longos. Quando a pergunta pede a quantidade de primos em uma lista, elimine primeiro os números pares maiores que 2 e os múltiplos de 5 maiores que 5. Depois aplique o critério do 3 e teste os casos restantes.
Em problemas sobre produtos, use uma ideia central: se o produto de dois números naturais é primo, um deles deve ser 1 e o outro deve ser o próprio primo. Isso ocorre porque um primo não pode ser escrito como produto de dois naturais maiores que 1. Já se um produto possui fatores como 2, 3 ou 5, ele certamente é composto, desde que seja maior que esses fatores.
Na fatoração, divida sucessivamente por números primos. Para decompor 84, por exemplo, pode-se fazer 84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2 × 2 × 3 × 7. Portanto, a forma fatorada é 2² × 3 × 7. Essa escrita ajuda a encontrar divisores e a resolver questões de MMC e MDC.
Questões do simulado
Resolva as questões a seguir e só então consulte a correção.
- Qual dos números a seguir é primo: 27, 29, 33 ou 39?
- Quantos números primos existem entre 10 e 20?
- O número 1 é primo, composto ou nenhum dos dois? Justifique pela quantidade de divisores positivos.
- Qual é a decomposição em fatores primos de 90?
- Um estudante afirma que todo número ímpar é primo. Essa afirmação está correta? Apresente um contraexemplo.
- Determine se 121 é primo ou composto.
- Qual dos seguintes números é divisível por 3 e, por isso, composto: 41, 47, 53 ou 57?
- Se p é um número primo maior que 2, como pode ser classificado o número p + 1: par ou ímpar?
- Um número natural maior que 1 tem exatamente quatro divisores positivos. O número 8 pode ser um exemplo? Liste seus divisores.
- Determine o menor número primo que divide 221.
Gabarito comentado
- 29. O número 27 é divisível por 3; 33 também é divisível por 3; e 39 é divisível por 3. O 29 não é divisível por 2, 3 ou 5 e é primo.
- Quatro. Os primos entre 10 e 20 são 11, 13, 17 e 19.
- Nenhum dos dois. O número 1 possui somente um divisor positivo, que é ele mesmo. Um primo precisa ter exatamente dois divisores.
- 2 × 3² × 5. Como 90 = 2 × 45, 45 = 3 × 15 e 15 = 3 × 5, essa é sua decomposição.
- Não. O número 9 é ímpar, mas é divisível por 1, 3 e 9. Portanto, é composto.
- Composto. Como 121 = 11 × 11, ele possui divisores além de 1 e 121.
- 57. A soma dos algarismos é 5 + 7 = 12, que é múltiplo de 3. Logo, 57 é divisível por 3.
- Par. Todo primo maior que 2 é ímpar. Ao somar 1 a um número ímpar, obtém-se um número par.
- Sim. Os divisores positivos de 8 são 1, 2, 4 e 8. Portanto, ele possui exatamente quatro divisores.
- 13. O número 221 não é divisível por 2, 3, 5, 7 ou 11. Como 221 = 13 × 17, seu menor divisor primo é 13.
Revisão final
Para revisar números primos, guarde quatro ideias: primo é o natural maior que 1 com exatamente dois divisores positivos; composto tem mais de dois divisores; 1 não é primo nem composto; e 2 é o único primo par. Em exercícios, use os critérios de divisibilidade para eliminar alternativas e recorra à fatoração quando precisar analisar produtos ou encontrar divisores.
Ao errar uma questão, identifique a causa: confusão com o número 1, suposição de que todo ímpar é primo, falha em aplicar um critério de divisibilidade ou fatoração incompleta. Essa análise torna a prática mais eficiente do que apenas memorizar respostas.
