Os exercícios resolvidos de função quadrática ajudam a compreender como calcular raízes, vértice e valores de uma parábola. Para resolvê-los com segurança, é importante identificar os coeficientes da função, escolher o procedimento adequado e conferir se o resultado responde ao que a questão pediu.
A função quadrática, também chamada de função do segundo grau, aparece em problemas de área, movimento, lucro, trajetória de objetos e modelagem de diversas situações. Nas provas, ela pode ser apresentada por uma expressão algébrica, uma tabela, um gráfico ou um enunciado. Embora os formatos variem, os conceitos centrais são os mesmos.
Conceito e elementos da função quadrática
Uma função quadrática é escrita, na forma geral, como f(x) = ax² + bx + c, em que a, b e c são números reais e a é diferente de zero. O expoente 2 em x é o que caracteriza essa função. Se a fosse igual a zero, a expressão deixaria de ser quadrática e passaria a representar uma função afim ou constante.
Cada coeficiente tem uma função no estudo da parábola, nome dado ao gráfico da função quadrática:
- a é o coeficiente de x² e determina a concavidade da parábola;
- b é o coeficiente de x e participa do cálculo do eixo de simetria e do vértice;
- c é o termo independente e informa o ponto em que o gráfico corta o eixo y, pois f(0) = c.
Quando a é positivo, a parábola tem concavidade voltada para cima e o vértice é um ponto de mínimo. Quando a é negativo, a concavidade fica voltada para baixo e o vértice é um ponto de máximo. Essa leitura é essencial em problemas que perguntam pelo maior lucro, pela altura máxima ou pelo menor valor de uma grandeza.
| Elemento | Como identificar | Interpretação |
|---|---|---|
| Coeficiente a | Número que acompanha x² | Define a concavidade |
| Coeficiente b | Número que acompanha x | Ajuda a localizar o vértice |
| Coeficiente c | Termo sem x | Intercepto no eixo y |
| Raízes | Valores de x com f(x) = 0 | Interceptos no eixo x, quando existem |
Raízes e discriminante
As raízes, ou zeros da função, são os valores de x para os quais f(x) vale zero. Portanto, para encontrá-las, transformamos a função em uma equação do segundo grau: ax² + bx + c = 0. Um método muito usado é a fórmula de Bhaskara.
Primeiro, calcula-se o discriminante, representado pela letra grega delta: Δ = b² − 4ac. Depois, se necessário, aplicam-se os valores na expressão x = (−b ± √Δ)/(2a). O sinal ± indica que podem existir duas respostas: uma usando a adição e outra usando a subtração.
O valor de delta permite prever a quantidade de raízes reais:
- Se Δ > 0, há duas raízes reais diferentes.
- Se Δ = 0, há uma raiz real, também chamada de raiz dupla.
- Se Δ < 0, não há raízes reais.
Geometricamente, isso mostra quantas vezes a parábola encontra o eixo x. Com delta positivo, o gráfico o corta em dois pontos; com delta igual a zero, apenas toca o eixo; com delta negativo, não o encontra. Atenção: a ausência de raízes reais não impede que a função tenha vértice ou corte o eixo y.
Dica de organização: antes de usar Bhaskara, escreva claramente os valores de a, b e c. Em f(x) = 2x² − 5x − 3, por exemplo, temos a = 2, b = −5 e c = −3. Manter os sinais evita muitos erros.
Vértice e gráfico da parábola
O vértice é o ponto mais baixo ou mais alto da parábola. Suas coordenadas são indicadas por V(xv, yv). A abscissa do vértice pode ser calculada por xv = −b/(2a). Já a ordenada pode ser encontrada substituindo xv na função, isto é, yv = f(xv), ou pela fórmula yv = −Δ/(4a).
O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice e divide a parábola em duas partes espelhadas. Sua equação é x = xv. Conhecer esse eixo ajuda a desenhar o gráfico, pois pontos situados à mesma distância dele possuem o mesmo valor de y.
Para esboçar uma parábola, reúna alguns dados: a concavidade, o vértice, as raízes quando existirem e o ponto (0, c). Não é necessário fazer um desenho em escala perfeita se a questão pede apenas uma análise; porém, os pontos devem estar em posições coerentes.
Forma canônica
Outra maneira de escrever a função é a forma canônica: f(x) = a(x − xv)² + yv. Nela, o vértice já aparece de forma direta. Por exemplo, f(x) = −2(x − 3)² + 5 possui vértice V(3, 5) e concavidade para baixo. Assim, o valor máximo da função é 5.
Exercícios resolvidos de função quadrática
Exercício 1: cálculo das raízes
Determine as raízes de f(x) = x² − 5x + 6.
Identificamos os coeficientes: a = 1, b = −5 e c = 6. Então, Δ = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Aplicando Bhaskara, temos x = [−(−5) ± √1]/(2 · 1). Logo, x = (5 ± 1)/2.
Para o sinal positivo, x = 6/2 = 3. Para o sinal negativo, x = 4/2 = 2. Portanto, as raízes são x = 2 e x = 3. Uma conferência simples é fatorar a expressão: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Exercício 2: vértice e valor mínimo
Encontre o vértice da função f(x) = 2x² − 8x + 3 e determine seu valor mínimo.
Como a = 2 é positivo, a parábola é voltada para cima. Logo, o vértice indica um mínimo. Calculamos xv = −(−8)/(2 · 2) = 8/4 = 2. Agora, substituímos x = 2 na função: f(2) = 2 · 2² − 8 · 2 + 3 = 8 − 16 + 3 = −5.
Assim, o vértice é V(2, −5), e o valor mínimo da função é −5. Note que o mínimo é o valor de y, e não o valor de x no qual ele acontece. Neste caso, o mínimo −5 ocorre quando x vale 2.
Exercício 3: análise de uma situação-problema
A altura h, em metros, de um objeto lançado verticalmente é dada por h(t) = −5t² + 20t + 1, em que t é o tempo em segundos. Qual é a altura máxima atingida?
O coeficiente a = −5 é negativo; portanto, a parábola é voltada para baixo e o vértice fornece a altura máxima. Calculamos o instante do vértice: xv = −20/[2 · (−5)] = −20/(−10) = 2. O objeto atinge a maior altura após 2 segundos.
Calculando h(2), obtemos h(2) = −5 · 4 + 20 · 2 + 1 = −20 + 40 + 1 = 21. Portanto, a altura máxima é 21 metros. A unidade final deve acompanhar a grandeza solicitada no enunciado.
Exercício 4: quantidade de raízes sem resolvê-las
Quantas raízes reais possui a função g(x) = 3x² + 2x + 4?
Temos a = 3, b = 2 e c = 4. Logo, Δ = 2² − 4 · 3 · 4 = 4 − 48 = −44. Como delta é negativo, a função não possui raízes reais. Não é preciso aplicar a fórmula de Bhaskara até o fim, pois a pergunta solicita somente a quantidade de raízes.
Erros comuns ao resolver questões
Um erro frequente é trocar o sinal de b ou de c ao identificar os coeficientes. Na função x² − 7x − 8, por exemplo, b = −7 e c = −8. Outro problema é esquecer os parênteses no cálculo de b²: se b = −7, então b² = (−7)² = 49, e não −49.
Também é comum confundir a raiz com o vértice. As raízes são pontos em que y = 0; o vértice é o ponto de máximo ou mínimo. Em uma função, esses elementos podem até ter valores próximos, mas representam informações diferentes.
- Coloque a função na forma ax² + bx + c antes de iniciar os cálculos.
- Registre os coeficientes, incluindo seus sinais.
- Verifique se a pergunta pede raízes, vértice, máximo, mínimo ou esboço do gráfico.
- Confira a resposta substituindo o valor encontrado na expressão, quando possível.
Pontos de revisão
Para estudar função quadrática, memorize a forma geral f(x) = ax² + bx + c e compreenda, em vez de apenas decorar, o papel de cada coeficiente. O sinal de a mostra a concavidade; c localiza o corte no eixo y; e b participa da posição do vértice e das raízes.
Em exercícios, calcule delta para analisar as raízes e use xv = −b/(2a) para encontrar a coordenada horizontal do vértice. Por fim, interprete o resultado no contexto: um valor de y pode representar altura, lucro, custo, área ou outra grandeza. Esse cuidado torna a resolução mais completa e adequada ao enunciado.
