Questões de razão e proporção com respostas exigem, antes de tudo, compreender a relação entre as quantidades apresentadas no enunciado. A razão compara dois valores por uma divisão; a proporção afirma que duas razões são equivalentes. Esses conceitos aparecem em problemas sobre receitas, escalas, velocidade, porcentagens, produção e repartição, sendo muito frequentes no ensino fundamental, no ensino médio e em avaliações como o ENEM.
Para resolver bem, não basta aplicar uma operação automaticamente. É necessário reconhecer o que cada número representa, verificar se as grandezas aumentam ou diminuem juntas e organizar os dados. A seguir, relembre os conceitos e pratique com questões comentadas.
Conceitos essenciais de razão e proporção
Uma razão é o quociente entre duas quantidades. Se uma turma tem 12 meninas e 18 meninos, a razão entre o número de meninas e o de meninos é 12/18, que pode ser simplificada para 2/3. Isso significa que, para cada 2 meninas, há 3 meninos. A ordem da comparação importa: a razão entre meninos e meninas seria 18/12, ou 3/2.
As quantidades comparadas precisam estar na mesma unidade quando isso for necessário. Por exemplo, para calcular a razão entre 2 metros e 50 centímetros, converta antes: 2 metros correspondem a 200 centímetros. Assim, a razão é 200/50 = 4. Portanto, a primeira medida é quatro vezes a segunda.
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Na expressão a/b = c/d, os termos a e d são chamados de extremos, enquanto b e c são os meios. Quando b e d são diferentes de zero, vale a propriedade fundamental:
a/b = c/d se, e somente se, a × d = b × c.
Essa relação é conhecida como multiplicação cruzada e ajuda a encontrar um termo desconhecido em muitas situações.
Exemplo: 3/5 = x/20. Multiplicando os extremos e os meios, temos 3 × 20 = 5 × x. Logo, 60 = 5x e x = 12. As frações são equivalentes, pois 3/5 e 12/20 representam a mesma razão.
Como identificar grandezas proporcionais
Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou contado, como tempo, distância, preço, massa e quantidade de pessoas. Em problemas de proporção, duas grandezas podem ser diretamente ou inversamente proporcionais. Identificar esse tipo de relação evita erros na montagem da regra de três.
| Tipo de relação | Comportamento das grandezas | Exemplo |
|---|---|---|
| Diretamente proporcional | As duas aumentam ou diminuem na mesma direção. | Mais produtos comprados, maior preço total, mantendo o preço unitário. |
| Inversamente proporcional | Uma aumenta enquanto a outra diminui. | Mais trabalhadores na mesma tarefa, menos tempo necessário, mantendo o ritmo. |
Nas grandezas diretamente proporcionais, o quociente entre valores correspondentes permanece constante. Se 3 cadernos custam 15 reais, cada caderno custa 5 reais; por isso, 6 cadernos custarão 30 reais. Dobrar a quantidade dobra o custo.
Nas inversamente proporcionais, o produto entre valores correspondentes permanece constante. Se 4 máquinas fazem um serviço em 9 horas, 8 máquinas iguais poderão fazê-lo em 4,5 horas, em condições ideais. Dobrou-se o número de máquinas e reduziu-se o tempo à metade.
Questões de razão com respostas
Questão 1: comparação entre quantidades
Em uma biblioteca escolar, há 24 livros de ficção e 36 livros de não ficção em uma estante. Qual é a razão entre a quantidade de livros de ficção e a de não ficção, na forma simplificada?
Resposta: A razão pedida é 24/36. Dividindo numerador e denominador por 12, obtém-se 2/3. Portanto, a razão é 2 para 3. Não se deve responder 3/2, pois essa seria a razão na ordem inversa: não ficção para ficção.
Questão 2: conversão de unidades
Um mapa usa a escala em que 1 centímetro representa 5 quilômetros. Qual é a razão entre a medida no mapa e a medida real, ambas em centímetros?
Resposta: Primeiro, convertem-se 5 quilômetros em centímetros. Como 1 km = 100.000 cm, 5 km = 500.000 cm. A razão é 1/500.000, ou 1:500.000. Essa é uma escala de redução: cada unidade desenhada corresponde a muitas unidades no espaço real.
Questão 3: razão como divisão
Uma equipe marcou 42 pontos em 7 partidas. Mantendo a média, qual é a razão entre pontos e partidas e quantos pontos são marcados, em média, por partida?
Resposta: A razão é 42/7. Efetuando a divisão, 42 ÷ 7 = 6. A equipe marcou, em média, 6 pontos por partida. Neste caso, a razão produz uma taxa, pois relaciona duas grandezas de naturezas diferentes.
Questões de proporção e regra de três
A regra de três é um procedimento para resolver problemas que apresentam grandezas proporcionais. Antes de calcular, organize as informações em colunas com as mesmas grandezas e determine se a relação é direta ou inversa. A incógnita deve representar uma quantidade com unidade clara.
Questão 4: grandezas diretamente proporcionais
Para preparar 8 porções de uma receita, são usados 300 gramas de arroz. Quantos gramas serão necessários para 14 porções, mantendo as mesmas quantidades por porção?
Resposta: O número de porções e a massa de arroz são diretamente proporcionais: mais porções exigem mais arroz. Montando a proporção, 8/300 = 14/x. Pela multiplicação cruzada, 8x = 14 × 300. Assim, 8x = 4.200 e x = 525. Serão necessários 525 gramas de arroz.
Questão 5: grandezas inversamente proporcionais
Seis pintores, trabalhando no mesmo ritmo, pintam um muro em 10 dias. Em quantos dias 15 pintores iguais realizarão o mesmo trabalho?
Resposta: A relação é inversamente proporcional, pois aumentar o número de pintores reduz o tempo. Assim, o produto deve permanecer igual: 6 × 10 = 15 × x. Portanto, 60 = 15x e x = 4. Os 15 pintores terminarão o serviço em 4 dias, supondo jornadas iguais e ausência de mudanças nas condições de trabalho.
Questão 6: escala
Em uma planta arquitetônica na escala 1:100, uma parede mede 7,5 centímetros. Qual é o comprimento real dessa parede em metros?
Resposta: A escala 1:100 informa que 1 cm no desenho equivale a 100 cm na realidade. Então, 7,5 × 100 = 750 cm. Convertendo para metros, 750 cm = 7,5 m. O comprimento real é 7,5 metros.
Questão 7: proporcionalidade em preços
Uma gráfica cobra 48 reais para imprimir 120 folhetos idênticos. Mantido o mesmo preço por unidade, quanto cobrará para imprimir 350 folhetos?
Resposta: Quantidade de folhetos e preço total são diretamente proporcionais. Pode-se calcular primeiro o preço unitário: 48 ÷ 120 = 0,40 real por folheto. Em seguida, 350 × 0,40 = 140. Logo, o preço será de 140 reais. O cálculo por regra de três leva ao mesmo resultado.
Erros comuns e estratégias de resolução
Um erro frequente é usar a multiplicação cruzada sem analisar a situação. Ela funciona em uma igualdade de razões, mas, nas grandezas inversamente proporcionais, a montagem precisa refletir a inversão de uma das relações ou o uso do produto constante. Também é comum misturar unidades, como horas e minutos ou metros e centímetros, antes de efetuar as contas.
Outra dificuldade está em confundir razão com diferença. Se há 8 alunos em um grupo e 12 em outro, a diferença é 4, mas a razão é 8/12, simplificada para 2/3. Cada resultado responde a uma pergunta diferente. Leia cuidadosamente os termos “a mais”, “a menos”, “para cada”, “em relação a” e “na escala”.
- Escreva quais são as duas grandezas e suas unidades.
- Observe se elas variam na mesma direção ou em direções opostas.
- Converta as unidades antes de formar razões.
- Simplifique frações quando possível, sem alterar o valor da razão.
- Confira se a resposta faz sentido: mais itens devem gerar maior custo em uma relação direta.
- Registre a unidade final, como reais, dias, metros ou gramas.
Uma estimativa rápida também ajuda na conferência. Na questão dos pintores, passar de 6 para 15 profissionais é aumentar bastante a equipe; portanto, esperar um tempo maior que 10 dias seria incoerente. Esse tipo de análise não substitui o cálculo, mas permite identificar resultados improváveis.
Pontos de revisão
Razão é uma comparação feita por divisão e pode ser apresentada como fração, divisão ou usando dois pontos. Proporção é a igualdade entre duas razões equivalentes. Ao resolver questões, a ordem dos termos e as unidades são tão importantes quanto as operações numéricas.
Em relações diretas, as grandezas crescem ou diminuem juntas; em relações inversas, uma cresce quando a outra diminui. A regra de três é útil quando a relação foi identificada corretamente. Para estudar, pratique problemas de receitas, escalas, velocidade e trabalho, explicando em palavras por que a situação é direta ou inversa antes de calcular.
Checklist final: identifique a pergunta, organize os dados, confira as unidades, classifique a proporcionalidade, faça o cálculo e avalie se o resultado é compatível com a situação apresentada.
