Regra de três composta exercícios resolvidos passo a passo é um tema que ajuda a solucionar situações em que uma quantidade desconhecida depende de três ou mais grandezas. Para acertar esse tipo de questão, não basta multiplicar os números: é necessário comparar cada grandeza com a incógnita e decidir se a relação é direta ou inversa.
Esse conteúdo aparece em problemas sobre trabalhadores, máquinas, tempo, velocidade, consumo e produção. O procedimento fica mais seguro quando os dados são organizados em uma tabela. Em seguida, analisa-se uma grandeza de cada vez, mantendo as demais constantes apenas para fazer a comparação.
O que é regra de três composta
A regra de três composta é usada quando há uma proporção que envolve mais de duas grandezas. Na regra de três simples, comparam-se apenas duas grandezas, como quantidade de cadernos e preço. Já em uma questão composta, podem participar número de operários, horas trabalhadas por dia, dias de serviço e tamanho de uma obra.
Uma grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou contado e que varia no problema: tempo, massa, número de pessoas, distância, velocidade e quantidade produzida são exemplos. A incógnita é o valor que se deseja descobrir, geralmente representado por x.
O ponto central é perceber como uma mudança em cada coluna afeta a grandeza da incógnita. Se duas grandezas aumentam ou diminuem juntas, a relação é direta. Se uma aumenta enquanto a outra precisa diminuir para preservar a situação, a relação é inversa.
Ideia-chave: não classifique as relações olhando apenas os números da tabela. Faça a pergunta: se esta grandeza aumentar, o valor procurado deve aumentar ou diminuir, considerando as outras condições fixas?
Como identificar as grandezas
Nas questões de trabalho, por exemplo, mais operários geralmente realizam a mesma tarefa em menos dias. Portanto, para uma obra fixa, operários e dias têm relação inversamente proporcional. Por outro lado, se a quantidade de operários aumenta e o tempo diário de trabalho permanece igual, a quantidade total produzida tende a aumentar: nesse caso, operários e produção têm relação direta.
A tabela a seguir resume comparações frequentes. Elas valem quando os demais elementos da situação permanecem constantes.
| Grandezas comparadas | Relação mais comum | Interpretação |
|---|---|---|
| Quantidade produzida e matéria-prima | Direta | Mais produção exige mais matéria-prima. |
| Número de operários e dias para a mesma obra | Inversa | Mais operários reduzem o número de dias. |
| Velocidade e tempo para a mesma distância | Inversa | Maior velocidade reduz o tempo de viagem. |
| Horas de funcionamento e produção | Direta | Mais horas de trabalho aumentam a produção. |
É importante observar as expressões “para a mesma obra”, “na mesma distância” e “mantendo o mesmo ritmo”. Elas indicam o que está fixo na comparação. Se a obra ou a distância também mudar, será preciso considerar essa nova grandeza na montagem da regra de três composta.
Método passo a passo
Há mais de uma forma de escrever os cálculos, mas o método abaixo diminui erros de inversão. Primeiro, coloque os dados em linhas ou colunas, deixando o valor desconhecido na mesma coluna da grandeza que se quer encontrar.
- Liste as grandezas e seus valores nas duas situações apresentadas.
- Escolha a coluna da incógnita e compare cada uma das outras grandezas com ela.
- Marque como direta a razão que acompanha o sentido da incógnita e como inversa a razão que atua em sentido contrário.
- Monte o produto de razões: nas diretas, use o valor da segunda situação dividido pelo da primeira; nas inversas, inverta essa razão.
- Multiplique pelo valor conhecido da coluna da incógnita e calcule x.
- Verifique se o resultado faz sentido no contexto.
Como regra prática, se a grandeza for direta em relação a x, use “novo sobre antigo”. Se for inversa, use “antigo sobre novo”. A checagem final é indispensável: se mais pessoas trabalham, por exemplo, o tempo não deveria aumentar numa obra de mesmo tamanho e com o mesmo ritmo.
Exercício 1: operários e obra
Problema: 8 operários, trabalhando 6 horas por dia durante 15 dias, pavimentam uma rua. Quantos dias serão necessários para 12 operários, trabalhando 8 horas por dia, pavimentarem uma rua de mesmo tamanho, no mesmo ritmo?
A incógnita é o número de dias. Organizando os dados, temos 8 e 12 operários; 6 e 8 horas diárias; 15 e x dias. Agora compare operários com dias: mais operários significam menos dias, então a relação é inversa. Compare horas diárias com dias: mais horas por dia também significam menos dias, logo a relação é inversa.
Partimos dos 15 dias da primeira situação. Como as duas relações são inversas, as razões ficam invertidas:
x = 15 × 8/12 × 6/8
Podemos simplificar 6/8 para 3/4. Então, x = 15 × 2/3 × 3/4 = 15 × 1/2 = 7,5. Portanto, serão necessários 7,5 dias, isto é, 7 dias e meio de trabalho. O resultado é coerente, pois a segunda equipe tem mais trabalhadores e trabalha mais horas por dia.
Exercício 2: máquinas e produção
Problema: 4 máquinas produzem 1.200 peças em 5 horas. Quantas peças 6 máquinas, com a mesma capacidade, produzirão em 8 horas?
Neste caso, a incógnita é a quantidade de peças. Mais máquinas resultam em mais peças: relação direta. Mais horas de funcionamento também resultam em mais peças: outra relação direta. Portanto, as duas razões serão usadas no sentido “novo sobre antigo”.
x = 1.200 × 6/4 × 8/5
Calculando, 6/4 é igual a 1,5 e 8/5 é igual a 1,6. Assim, x = 1.200 × 1,5 × 1,6 = 2.880. As 6 máquinas produzirão 2.880 peças. Note que a resposta é maior que 1.200, como esperado: tanto o número de máquinas quanto o período de trabalho aumentaram.
Exercício 3: velocidade e viagem
Problema: Um ônibus percorre 360 km em 6 horas, a uma velocidade média de 60 km/h. Quanto tempo levará para percorrer 540 km a 90 km/h?
O tempo é a incógnita. A distância e o tempo têm relação direta: uma viagem mais longa exige mais tempo, se a velocidade for mantida. Já velocidade e tempo têm relação inversa: ao aumentar a velocidade, o tempo para uma determinada distância diminui.
Usando como referência as 6 horas da primeira viagem, temos:
x = 6 × 540/360 × 60/90
A fração 540/360 é igual a 3/2, e 60/90 equivale a 2/3. Os fatores se cancelam: x = 6 × 3/2 × 2/3 = 6. O ônibus levará 6 horas. Embora a distância tenha aumentado, a velocidade também aumentou na mesma proporção, compensando a mudança.
Uma conferência alternativa é usar a fórmula distância igual a velocidade multiplicada pelo tempo. Dividindo 540 por 90, obtém-se 6 horas. Esse tipo de verificação é útil quando o problema inclui grandezas físicas conhecidas.
Síntese e pontos de revisão
A regra de três composta organiza situações de proporcionalidade com três ou mais grandezas. O cálculo correto depende principalmente da análise das relações, e não da memorização de uma disposição fixa de números. Antes de multiplicar, identifique claramente o que aumenta, o que diminui e qual condição está sendo mantida.
- Defina qual é a incógnita e coloque seus valores na mesma coluna.
- Compare cada grandeza com a incógnita, uma por vez.
- Em relações diretas, use a razão no sentido novo sobre antigo.
- Em relações inversas, inverta a razão, usando antigo sobre novo.
- Confira se o resultado final é compatível com a situação descrita.
Praticar com problemas de trabalho, máquinas e deslocamentos ajuda a reconhecer padrões, mas cada enunciado deve ser lido com atenção. A mesma grandeza pode ser direta em uma situação e inversa em outra, conforme aquilo que é mantido constante.
