Atividades sobre função logarítmica com gabarito

Atividades sobre função logarítmica com gabarito ajudam a compreender como identificar domínio, analisar gráficos e resolver equações que envolvem logaritmos. Para acertar esses exercícios, é indispensável lembrar que a função logarítmica é a inversa da função exponencial e que suas condições de existência não podem ser ignoradas.

Em geral, ela é escrita como f(x) = log_ax, em que a é a base. Esse tipo de função aparece em escalas que representam grandezas com variações muito amplas, como o pH, a intensidade sonora e a magnitude de terremotos. Neste material, você encontrará uma revisão teórica, estratégias de resolução e uma lista de questões com respostas explicadas.

Conceito e condições de existência

O logaritmo responde à seguinte pergunta: “a que expoente devemos elevar uma base para obter determinado número?”. Assim, escrever log₂8 = 3 equivale a afirmar que 2³ = 8. A relação geral é:

Na função f(x) = log_ax, a variável é o logaritmando, isto é, o número que está dentro do logaritmo. Para que a expressão tenha significado no conjunto dos números reais, devem ser atendidas três condições:

• a base deve ser positiva: a > 0;
• a base não pode ser igual a 1: a ≠ 1;
• o logaritmando deve ser positivo: x > 0.

Por isso, o domínio da função f(x) = log_ax é o conjunto dos reais positivos, representado por (0, +∞). Não existe logaritmo real de zero ou de número negativo. Já a imagem é o conjunto de todos os números reais: qualquer valor real pode ser resultado de um logaritmo.

Um ponto que deve ser memorizado é log_a1 = 0, pois toda base positiva diferente de 1 elevada a zero resulta em 1. Também vale log_aa = 1, já que a¹ = a. Esses dois resultados facilitam a localização de pontos importantes no gráfico.

Gráficos e comportamento da função

O gráfico de f(x) = log_ax sempre passa pelo ponto (1, 0), pois log_a1 = 0. Ele não toca nem cruza o eixo y, uma vez que x = 0 não pertence ao domínio. Portanto, o eixo y é uma assíntota vertical do gráfico.

O comportamento da curva depende do valor da base. Se a base for maior que 1, a função será crescente. Se a base estiver entre 0 e 1, será decrescente. Essa regra é particularmente importante em questões que pedem análise gráfica ou resolução de inequações.

Por exemplo, em f(x) = log₃x, valores de x maiores produzem valores maiores de f(x). Já em g(x) = log_1/3x, ocorre o contrário: ao aumentar x, o valor do logaritmo diminui. As duas curvas passam por (1, 0), mas possuem sentidos opostos.

Propriedades essenciais dos logaritmos

As propriedades dos logaritmos permitem transformar produtos, quocientes e potências em expressões mais simples. Elas só podem ser usadas quando os logaritmandos envolvidos forem positivos e as bases forem válidas.

• Produto: log_a(MN) = log_aM + log_aN.
• Quociente: log_a(M/N) = log_aM − log_aN.
• Potência: log_a(M^p) = p · log_aM.
• Mudança de base: log_aM = log_bM / log_ba.

É importante não criar propriedades inexistentes. Por exemplo, log_a(M + N) não é igual a log_aM + log_aN. A propriedade da soma vale para o logaritmo de um produto, e não para o logaritmo de uma soma. Esse erro é comum porque a notação pode parecer semelhante.

A mudança de base é útil quando a calculadora fornece apenas logaritmos decimais ou naturais. Para calcular log₂7, por exemplo, pode-se usar log 7 / log 2. Contudo, em exercícios algébricos, geralmente é mais eficiente reescrever os números como potências de uma mesma base.

Estratégias para resolver exercícios

Em equações do tipo log_aF(x) = log_aG(x), com mesma base válida, podemos igualar os logaritmandos: F(x) = G(x). Mas, antes de aceitar qualquer solução, é necessário verificar se os dois logaritmandos são positivos. Uma raiz algébrica pode não pertencer ao domínio da equação inicial.

Quando a equação tem a forma log_aF(x) = k, transforme-a em forma exponencial: F(x) = a^k. Por exemplo, em log₂(x − 1) = 3, temos x − 1 = 2³; logo, x = 9. Como 9 − 1 é positivo, a resposta é válida.

Roteiro prático

1. Determine as restrições de domínio dos logaritmandos.
2. Observe se as bases são iguais e se é possível converter a equação para a forma exponencial.
3. Aplique propriedades somente quando elas simplificarem a expressão.
4. Resolva a equação algébrica obtida.
5. Substitua as respostas na expressão original e descarte valores inválidos.

Nas inequações, a base interfere no sentido da comparação. Para a > 1, a função é crescente e o sentido é mantido. Para 0 < a < 1, ela é decrescente e o sentido da desigualdade deve ser invertido. Essa é uma consequência direta do comportamento dos gráficos.

Lista de atividades

Resolva as questões antes de consultar o gabarito. Sempre registre as condições de existência, especialmente nas expressões que contêm incógnitas dentro do logaritmo.

1. Calcule log₂32.
2. Determine o domínio da função f(x) = log₅(x − 4).
3. Classifique como crescente ou decrescente a função g(x) = log_1/4x.
4. Resolva a equação log₃x = 4.
5. Resolva a equação log₂(x + 3) = 5.
6. Resolva log₁₀x + log₁₀2 = 3.
7. Resolva log₅(x − 1) = log₅(2x − 7).
8. Indique os pontos em que o gráfico de y = log₄x intercepta o eixo x e descreva sua assíntota.
9. Resolva a inequação log₂x > 3.
10. Em uma escala hipotética, o valor de uma medida é dado por M = log₁₀I. Se I = 10⁶, qual é o valor de M?

Gabarito comentado

1. 5. Como 2⁵ = 32, então log₂32 = 5.
2. x > 4. O logaritmando precisa ser positivo: x − 4 > 0.
3. Decrescente. A base 1/4 está entre zero e 1, portanto a função diminui quando x aumenta.
4. x = 81. Convertendo para a forma exponencial: x = 3⁴ = 81.
5. x = 29. Temos x + 3 = 2⁵ = 32. Assim, x = 29, que satisfaz a condição x > −3.
6. x = 500. Pela propriedade do produto, log(x · 2) = 3. Logo, 2x = 10³ = 1000, e x = 500.
7. x = 6. Igualando os logaritmandos, obtemos x − 1 = 2x − 7. Portanto, x = 6. A solução é válida, pois os dois logaritmandos valem 5, número positivo.
8. Interceptação: (1, 0); assíntota: eixo y. A interseção ocorre quando log₄x = 0, isto é, quando x = 1. Como o domínio exige x > 0, a reta x = 0 é assíntota vertical.
9. x > 8. Como a base 2 é maior que 1, a desigualdade é preservada: x > 2³.
10. M = 6. Pela definição, log₁₀10⁶ = 6.

Pontos de revisão

Para estudar função logarítmica, priorize a interpretação da definição e das condições de existência. Em seguida, pratique a conversão entre forma logarítmica e exponencial, pois ela resolve grande parte das equações elementares.

Ao finalizar cada atividade, confira não apenas o cálculo, mas também a validade da resposta no domínio. Esse hábito evita aceitar soluções que surgem na manipulação algébrica, mas não fazem sentido na expressão logarítmica original.