Progressão aritmética, ou PA, é uma sequência numérica em que a diferença entre cada termo e o termo anterior é sempre a mesma. Essa diferença constante recebe o nome de razão. Por exemplo, na sequência 2, 5, 8, 11, 14, cada número aumenta 3 unidades em relação ao anterior; portanto, ela é uma PA de razão 3.
O estudo das progressões aritméticas ajuda a descrever situações que variam regularmente, como fileiras de cadeiras, economia feita a cada mês, parcelas com acréscimo fixo ou a quantidade de objetos organizada em padrões. Em questões escolares, de vestibulares e do ENEM, é importante reconhecer a regularidade da sequência e escolher a fórmula adequada para encontrar um termo ou uma soma.
Conceito de progressão aritmética
Uma sequência é uma lista ordenada de números, chamados de termos. Em uma PA, a passagem de um termo para o seguinte ocorre sempre pela adição ou pela subtração de um mesmo valor. Esse valor é a razão, indicada geralmente pela letra r.
Considere as sequências abaixo:
- 4, 9, 14, 19, 24: a diferença é 5; logo, é uma PA.
- 30, 25, 20, 15, 10: a diferença é −5; logo, também é uma PA.
- 1, 2, 4, 8, 16: as diferenças não são constantes; não é uma PA.
Os termos podem ser representados por uma letra acompanhada de um índice. Assim, a₁ é o primeiro termo, a₂ é o segundo, a₃ é o terceiro, e assim por diante. Na PA 4, 9, 14, 19, temos a₁ = 4, a₂ = 9, a₃ = 14 e a₄ = 19.
Para verificar se uma sequência é uma PA, subtraia dois termos consecutivos. Se o resultado se repetir em toda a sequência, existe uma razão constante e a sequência é uma progressão aritmética.
Razão e classificação da PA
A razão pode ser obtida pela diferença entre um termo e o imediatamente anterior. Em símbolos, r = a₂ − a₁. Também seria correto usar r = a₃ − a₂, desde que os termos pertençam à mesma PA. Na sequência 12, 16, 20, 24, a razão é 16 − 12 = 4.
O sinal da razão determina o comportamento da sequência. Se a razão for positiva, os termos aumentam; se for negativa, diminuem; se for igual a zero, todos os termos serão iguais.
| Tipo de PA | Condição da razão | Exemplo |
|---|---|---|
| Crescente | r > 0 | 3, 7, 11, 15 |
| Decrescente | r < 0 | 20, 16, 12, 8 |
| Constante | r = 0 | 6, 6, 6, 6 |
Não se deve confundir uma PA crescente com uma sequência formada apenas por números positivos. A sequência −10, −7, −4, −1 é crescente, pois cada termo é maior que o anterior e sua razão é 3. Do mesmo modo, uma PA pode ter termos positivos, negativos e zero.
Termo geral da PA
Quando se conhece o primeiro termo e a razão, é possível calcular qualquer posição da sequência sem escrever todos os termos anteriores. Para isso, usa-se a fórmula do termo geral: aₙ = a₁ + (n − 1)r. Nessa expressão, aₙ representa o termo que ocupa a posição n; a₁ é o primeiro termo; e r é a razão.
O fator n − 1 aparece porque, para sair do primeiro termo e chegar ao termo de posição n, são necessários n − 1 avanços. Cada avanço acrescenta ou retira uma razão. Por exemplo, para encontrar o 20º termo da PA 7, 11, 15, ..., temos a₁ = 7, r = 4 e n = 20. Portanto: a₂₀ = 7 + (20 − 1) · 4 = 7 + 76 = 83.
Encontrando a posição de um termo
A mesma fórmula pode ser reorganizada quando o problema informa um termo e pede sua posição. Na PA 5, 8, 11, ..., em que posição está o número 80? Substituindo os dados, temos 80 = 5 + (n − 1) · 3. Assim, 75 = 3(n − 1), então 25 = n − 1 e n = 26. Logo, 80 é o 26º termo.
É essencial verificar se a posição encontrada é um número natural positivo. Se, ao resolver a equação, o valor de n não for natural, o número procurado não pertence àquela PA. Esse cuidado evita considerar como termo da sequência um valor que apenas está entre dois termos consecutivos.
Soma dos termos da PA
Em muitos problemas, não basta descobrir um único termo: é preciso somar vários termos da progressão. A soma dos n primeiros termos é indicada por Sₙ. Há duas fórmulas bastante usadas: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 e Sₙ = n[2a₁ + (n − 1)r]/2. A primeira é conveniente quando se conhece o último termo; a segunda, quando se conhece a razão.
Suponha que seja necessário somar os 15 primeiros termos da PA 2, 5, 8, ... Primeiro, encontra-se o 15º termo: a₁₅ = 2 + (15 − 1) · 3 = 44. Em seguida, aplica-se a soma: S₁₅ = 15(2 + 44)/2 = 345.
O motivo da fórmula fica mais claro ao agrupar o primeiro termo com o último, o segundo com o penúltimo e assim sucessivamente. Na PA 2, 5, 8, ..., 44, cada par soma 46: 2 + 44, 5 + 41, 8 + 38. Como há 15 termos, o raciocínio leva à média entre o primeiro e o último, multiplicada pela quantidade de termos. Por isso, também se pode interpretar a fórmula como Sₙ = n · média dos termos extremos.
Ao usar uma fórmula de soma, identifique com atenção quantos termos serão somados. O número de termos não é necessariamente igual ao valor do último termo.
Tipos e propriedades importantes
Além de crescente, decrescente ou constante, uma PA pode ser finita, quando possui um número limitado de termos, ou infinita, quando seu padrão continua indefinidamente. A sequência 1, 4, 7, 10, ... é uma PA infinita. Já os números 10, 15, 20, 25 formam uma PA finita.
Uma propriedade importante afirma que, em três termos consecutivos de uma PA, o termo central é a média aritmética dos extremos. Se os termos são a, b, c, então b = (a + c)/2. Na sequência 9, 14, 19, por exemplo, 14 = (9 + 19)/2.
Essa ideia pode ser usada para descobrir um termo desconhecido. Se 18, x, 32 são termos consecutivos de uma PA, então x = (18 + 32)/2 = 25. De fato, as diferenças são 7: 25 − 18 e 32 − 25.
Também vale a pena distinguir PA de progressão geométrica, ou PG. Em uma PA, a relação entre termos é dada por uma diferença fixa. Em uma PG, cada termo é obtido pela multiplicação por uma razão fixa. A sequência 3, 6, 12, 24 é PG de razão 2, mas não é PA, porque suas diferenças são 3, 6 e 12.
Como resolver exercícios de PA
Problemas de PA podem aparecer com números explícitos, tabelas, figuras ou contextos cotidianos. Uma arquibancada em que cada fileira tem quatro lugares a mais que a anterior, por exemplo, sugere uma PA. Antes de aplicar fórmulas, transforme as informações do enunciado em dados matemáticos.
- Identifique o primeiro termo, a razão e, se houver, a posição ou o último termo.
- Decida o que está sendo pedido: um termo específico, a posição de um termo ou a soma.
- Escolha a fórmula compatível com os dados disponíveis.
- Faça as substituições com cuidado, especialmente nos sinais de razões negativas.
- Confira se o resultado faz sentido no contexto apresentado.
Por exemplo, uma pessoa guarda R$ 50 no primeiro mês, R$ 70 no segundo, R$ 90 no terceiro e mantém esse aumento de R$ 20 por mês. Os depósitos mensais formam uma PA com a₁ = 50 e r = 20. O depósito do 12º mês será a₁₂ = 50 + 11 · 20 = 270. Se a pergunta fosse o total guardado nos 12 meses, seria necessário usar a fórmula da soma, e não apenas a do termo geral.
Pontos de revisão
A progressão aritmética é reconhecida pela diferença constante entre termos consecutivos. Sua razão pode ser positiva, negativa ou nula, definindo se a sequência cresce, decresce ou permanece constante. Os elementos mais frequentes nos exercícios são o primeiro termo, a razão, a posição e a quantidade de termos.
- Termo geral: aₙ = a₁ + (n − 1)r.
- Soma com primeiro e último termos: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.
- Soma com primeiro termo e razão: Sₙ = n[2a₁ + (n − 1)r]/2.
- Em três termos consecutivos, o termo central é a média dos extremos.
Ao estudar, pratique tanto sequências crescentes quanto decrescentes e resolva problemas contextualizados. O procedimento principal é sempre o mesmo: identificar o padrão aditivo, organizar os dados e aplicar a relação matemática apropriada.
