Tudo sobre permutação: conceito, fórmulas e exemplos

Permutação é uma forma de contar quantas ordenações diferentes podem ser feitas com todos os elementos de um conjunto. Ela aparece em situações como organizar pessoas em uma fila, formar anagramas de uma palavra ou distribuir objetos em posições distintas. O ponto decisivo é que, em uma permutação, a ordem importa e todos os elementos disponíveis são usados.

Esse assunto pertence à análise combinatória e exige atenção à leitura do enunciado. Antes de aplicar uma fórmula, é preciso verificar se os elementos são distintos, se há repetições, se a disposição é circular e se existem condições, como pessoas que devem ficar juntas ou separadas. Com essa identificação, o cálculo fica mais seguro.

O que é permutação

Uma permutação corresponde a cada maneira possível de reorganizar um conjunto completo de elementos. Considere as letras A, B e C. Podemos colocá-las nas ordens ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. Há, portanto, seis ordenações possíveis.

Note que ABC e BAC são consideradas diferentes, pois as posições de A e B mudaram. Essa é a característica central da permutação: a troca de posição produz uma nova possibilidade. Além disso, nenhuma letra ficou de fora; as três foram utilizadas em cada ordenação.

É importante não confundir permutação com combinação. Nas combinações, a ordem não altera o grupo formado. Escolher Ana e Bruno para uma dupla é o mesmo que escolher Bruno e Ana. Já em uma fila, Ana seguida de Bruno não é igual a Bruno seguido de Ana. Por isso, uma fila é um caso típico de permutação.

Fatorial e princípio fundamental da contagem

O cálculo das permutações está ligado ao fatorial. O fatorial de um número natural positivo n, indicado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos de n até 1. Assim, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Por definição, 0! = 1.

O motivo dessa operação pode ser entendido pelo princípio fundamental da contagem. Para organizar cinco pessoas em uma fila, há cinco opções para a primeira posição. Depois de escolhida a primeira pessoa, restam quatro opções para a segunda; depois, três para a terceira, e assim sucessivamente. Logo, o total é 5 × 4 × 3 × 2 × 1, isto é, 5!.

Nos exercícios, simplificar fatoriais ajuda a evitar cálculos grandes. Por exemplo, 8! ÷ 6! pode ser reescrito como (8 × 7 × 6!) ÷ 6!, resultando em 56. Os fatores iguais são cancelados antes de multiplicar os números restantes.

Permutação simples

A permutação simples ocorre quando todos os elementos são distintos e todos participam da ordenação. A fórmula é:

Pn = n!

Nessa notação, Pn representa o número de permutações de n elementos distintos. Se quatro livros diferentes serão colocados lado a lado em uma prateleira, o número de organizações é P4 = 4! = 24.

Exemplo com anagrama

Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra SOL? Como S, O e L são três letras diferentes, basta calcular P3. Assim, 3! = 6 anagramas: SOL, SLO, OSL, OLS, LSO e LOS.

Como reconhecer esse caso

• Todos os objetos, pessoas ou símbolos devem ser utilizados.
• Os elementos não se repetem.
• A mudança de ordem cria um novo resultado.
• As posições são lineares, como em fila, senha de letras distintas ou prateleira.

Uma palavra como “organizar”, “ordenar”, “enfileirar” ou “anagrama” pode indicar permutação, mas não determina sozinha o método. A presença de letras repetidas ou de uma mesa redonda, por exemplo, modifica o cálculo.

Permutação com repetição

Na permutação com repetição, alguns elementos são iguais. Se aplicássemos apenas o fatorial do total de elementos, contaríamos várias vezes a mesma ordenação. Por isso, é necessário dividir pelo fatorial da quantidade de vezes que cada elemento se repete.

Para n elementos, com grupos de repetições de tamanhos a, b, c e assim por diante, usa-se:

P = n! ÷ (a! × b! × c! × ...)

Veja a palavra ARARA. Ela tem cinco letras, sendo três letras A e duas letras R. Se todas fossem diferentes, haveria 5! ordenações. Porém, trocar um A por outro A não cria um novo anagrama, assim como trocar os dois R também não cria. Portanto:

P = 5! ÷ (3! × 2!) = 120 ÷ (6 × 2) = 10.

Logo, ARARA possui dez anagramas distintos. A divisão elimina as contagens repetidas provocadas por elementos indistinguíveis.

Em uma palavra com letras todas diferentes, a permutação com repetição leva ao mesmo resultado da simples, pois cada quantidade de repetição seria 1 e 1! não altera o cálculo. Ainda assim, é melhor usar a fórmula adequada ao que o problema apresenta.

Permutação circular

A permutação circular é usada quando os elementos são dispostos em círculo, como pessoas sentadas em uma mesa redonda. Nesse caso, rotações não formam novas posições relativas. Por exemplo, se quatro pessoas mantêm a mesma sequência ao redor da mesa e apenas a mesa gira, a disposição continua equivalente.

Para n elementos distintos em círculo, o número de permutações circulares é:

Pc = (n − 1)!

Se cinco amigos vão sentar-se em uma mesa redonda, o total é Pc = (5 − 1)! = 4! = 24. Uma forma de compreender a fórmula é fixar uma pessoa em uma posição de referência. Então, restam quatro pessoas para organizar nas quatro posições restantes.

Essa fórmula considera que só rotações são equivalentes. Se o problema também considerar equivalentes as disposições obtidas por espelhamento, como pode ocorrer com certos colares, o tratamento muda e exige uma análise específica. Em mesas, geralmente uma pessoa voltada para outra não ocupa a mesma relação de lugares quando se inverte o sentido; por isso, não se divide automaticamente por dois.

Restrições e estratégias de resolução

Muitos exercícios apresentam condições. Elas não anulam o raciocínio de permutação, mas exigem organizar as possibilidades de maneira estratégica. Duas técnicas frequentes são o bloco e o complemento.

Elementos que devem ficar juntos

Suponha que cinco pessoas, entre elas Ana e Bia, formem uma fila e as duas devam ficar juntas. Podemos tratar Ana e Bia como um único bloco. Nesse momento, há quatro unidades para ordenar: o bloco AB e as outras três pessoas. Elas podem ser organizadas de 4! maneiras.

Dentro do bloco, Ana e Bia podem aparecer como AB ou BA, totalizando 2! possibilidades. Assim, o total é 4! × 2! = 48. O cuidado é não esquecer a ordem interna dos elementos do bloco.

Elementos que não podem ficar juntos

Quando duas pessoas não podem ficar lado a lado, muitas vezes é mais rápido usar o complemento. Primeiro, calcula-se o número de filas sem restrição; depois, subtrai-se o número de filas em que as duas ficam juntas. Para cinco pessoas, existem 5! = 120 filas. Como as filas com Ana e Bia juntas são 4! × 2! = 48, o número procurado é 120 − 48 = 72.

1. Identifique se a ordem importa.
2. Verifique se todos os elementos são usados.
3. Observe se há elementos repetidos ou disposição circular.
4. Traduza as restrições por bloco, complemento ou divisão em casos.
5. Faça o cálculo e confira se o resultado é coerente com o total possível.

Uma verificação útil é comparar o resultado com a quantidade sem restrições. Uma condição que limita posições não pode produzir mais possibilidades do que a situação em que tudo é permitido.

Síntese para revisar

A permutação conta ordenações e, por isso, depende da posição dos elementos. Na permutação simples, todos são distintos e o total é n!. Com repetições, divide-se o fatorial total pelos fatoriais das quantidades repetidas. Em círculo, para elementos distintos, fixa-se uma referência e obtém-se (n − 1)!.

O domínio do tema depende menos de decorar símbolos e mais de classificar corretamente cada situação. Ao resolver exercícios, descreva em palavras o que cada etapa está contando. Esse hábito reduz erros de repetição, de ordem e de interpretação das condições.