Para entender como calcular polígonos, é preciso identificar o número de lados da figura e o que o problema pede: soma dos ângulos, medida de cada ângulo, quantidade de diagonais, perímetro ou área. Cada cálculo usa uma fórmula diferente, e a escolha correta depende também de o polígono ser regular ou irregular.
O que são polígonos e quais dados observar
Polígono é uma figura plana, fechada, formada apenas por segmentos de reta. Esses segmentos são os lados, e seus encontros formam os vértices. Triângulos, quadriláteros, pentágonos e hexágonos são exemplos de polígonos. Uma circunferência não é um polígono, pois possui uma linha curva.
Em exercícios, a letra n geralmente representa a quantidade de lados do polígono. Como todo polígono tem o mesmo número de lados e de vértices, um octógono, por exemplo, tem n = 8, oito lados e oito vértices. Esse valor aparece nas fórmulas de ângulos e diagonais.
Antes de fazer contas, observe as informações fornecidas no enunciado. Ele pode indicar a medida do lado, o apótema, a base e a altura, a quantidade de lados ou a medida de um ângulo. Também verifique se a figura é regular. Um polígono regular possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos com a mesma medida. Já o irregular não apresenta necessariamente essas igualdades.
Atenção: as fórmulas gerais de soma dos ângulos e de diagonais valem para polígonos simples, isto é, figuras cujos lados não se cruzam. Para calcular cada ângulo individualmente por divisão, porém, o polígono deve ser regular.
Classificação e elementos dos polígonos
Os polígonos são nomeados de acordo com a quantidade de lados. Saber esses nomes ajuda a interpretar textos e questões, mas, para aplicar as fórmulas, o mais importante é determinar n corretamente.
| Número de lados | Nome do polígono | Exemplo de uso de n |
|---|---|---|
| 3 | Triângulo | n = 3 |
| 4 | Quadrilátero | n = 4 |
| 5 | Pentágono | n = 5 |
| 6 | Hexágono | n = 6 |
| 8 | Octógono | n = 8 |
| 10 | Decágono | n = 10 |
Além dos lados e vértices, aparecem com frequência os seguintes elementos:
- Ângulo interno: região formada por dois lados consecutivos, no interior da figura.
- Ângulo externo: ângulo obtido entre um lado e o prolongamento do lado vizinho.
- Diagonal: segmento que une dois vértices não consecutivos.
- Perímetro: soma dos comprimentos de todos os lados.
- Apótema: no polígono regular, segmento perpendicular que liga o centro ao ponto médio de um lado.
Um polígono pode ser convexo ou não convexo. No convexo, todos os ângulos internos são menores que 180° e qualquer segmento entre dois pontos internos permanece dentro da figura. As fórmulas mais comuns estudadas na educação básica são aplicadas principalmente aos polígonos convexos.
Como calcular a soma dos ângulos internos
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo é dada pela fórmula S = (n − 2) · 180°. Nela, S é a soma procurada e n é o número de lados. A expressão funciona porque é possível dividir um polígono em triângulos a partir de um mesmo vértice, e cada triângulo tem soma interna igual a 180°.
Em um pentágono, n = 5. Portanto, S = (5 − 2) · 180° = 3 · 180° = 540°. Isso quer dizer que os cinco ângulos internos somados medem 540°, mesmo que o pentágono seja irregular. Não significa que cada um mede 540°: esse resultado se refere ao total.
Considere agora um decágono. Como ele tem dez lados, S = (10 − 2) · 180° = 8 · 180° = 1.440°. Se a questão informar a soma e pedir a quantidade de lados, basta montar a equação. Se S = 1.260°, então:
(n − 2) · 180 = 1.260. Dividindo por 180, obtém-se n − 2 = 7. Logo, n = 9. O polígono é um eneágono.
Uma verificação útil é lembrar que o triângulo tem soma igual a 180°: ao substituir n = 3 na fórmula, resulta (3 − 2) · 180° = 180°. Para um quadrilátero, o resultado é 360°.
Ângulos de polígonos regulares
Quando o polígono é regular, todos os seus ângulos internos têm a mesma medida. Assim, depois de encontrar a soma S, divida-a pelo número de lados. A fórmula da medida de cada ângulo interno é a = [(n − 2) · 180°] / n.
Em um hexágono regular, n = 6. A soma interna é (6 − 2) · 180° = 720°. Como os seis ângulos são iguais, cada um mede 720° / 6 = 120°. Essa divisão só é válida porque foi informado que o hexágono é regular.
Também é possível descobrir o número de lados conhecendo cada ângulo interno. Suponha que cada ângulo de um polígono regular meça 150°. Monta-se a igualdade [(n − 2) · 180] / n = 150. Multiplicando os dois lados por n, temos 180n − 360 = 150n. Assim, 30n = 360 e n = 12. Trata-se de um dodecágono regular.
Por que não dividir em figuras irregulares?
Em um quadrilátero irregular, por exemplo, a soma interna sempre é 360°, mas seus ângulos podem medir 80°, 110°, 70° e 100°. Dividir 360° por quatro produziria 90°, valor que corresponde apenas à média aritmética das medidas, não à medida real de cada ângulo. Por isso, leia com atenção a palavra “regular” no enunciado.
Diagonais e ângulos externos
A quantidade total de diagonais de um polígono é calculada por D = n(n − 3) / 2. A fórmula considera que, de cada vértice, podem partir diagonais para n − 3 vértices: não se conta o próprio vértice nem os dois vizinhos, pois eles formam lados. A divisão por dois evita contar duas vezes a mesma diagonal.
Para um octógono, D = 8(8 − 3) / 2 = 8 · 5 / 2 = 20 diagonais. Já um pentágono possui 5(5 − 3) / 2 = 5 diagonais. Não confunda essa fórmula com o número de diagonais que saem de um único vértice: nesse caso, a resposta é apenas n − 3.
Nos polígonos convexos, a soma de um conjunto de ângulos externos, um em cada vértice e tomados no mesmo sentido, é sempre 360°. Em um polígono regular, cada ângulo externo mede 360° / n. Logo, em um nonágono regular, cada externo vale 360° / 9 = 40°.
Em cada vértice de um polígono convexo, o ângulo interno e o externo adjacente são suplementares. Portanto, suas medidas somam 180°. No nonágono do exemplo, cada interno será 180° − 40° = 140°. Essa relação é outra maneira de chegar aos ângulos internos de uma figura regular.
Perímetro e área dos polígonos
O perímetro é o contorno da figura. Para calculá-lo, some todos os lados. Se o polígono for regular e cada lado medir l, use a forma simplificada P = n · l. Um heptágono regular com lados de 4 cm, por exemplo, tem perímetro P = 7 · 4 = 28 cm.
Em um polígono irregular, não há atalho baseado apenas em n: é necessário somar os comprimentos conhecidos. Um quadrilátero com lados de 3 cm, 5 cm, 4 cm e 6 cm apresenta perímetro de 18 cm. Perímetro é medido em unidades de comprimento, como cm, m ou km.
A área mede a superfície interna e é expressa em unidades quadradas, como cm² ou m². Não existe uma única fórmula de área que sirva para todos os polígonos, pois ela depende da forma e das medidas disponíveis. Para um polígono regular, uma fórmula importante é A = P · ap / 2, em que P é o perímetro e ap é o apótema.
Se um hexágono regular tem perímetro de 36 cm e apótema de 5,2 cm, sua área é A = 36 · 5,2 / 2 = 93,6 cm². A ideia da fórmula é dividir a figura em triângulos congruentes com vértice no centro; a soma das áreas desses triângulos leva ao resultado.
Decomposição de figuras
Para polígonos irregulares, uma estratégia frequente é decompor a figura em formas conhecidas, como triângulos, retângulos e trapézios. Calculam-se as áreas das partes e, depois, somam-se os resultados. Se houver um recorte interno, como em uma figura em L, calcule a área do retângulo maior e subtraia a área da região retirada. Desenhar as divisões auxilia na organização dos dados.
Roteiro de revisão e síntese
Os cálculos com polígonos ficam mais seguros quando são feitos em uma sequência lógica. Primeiro, determine o número de lados; depois, identifique se a figura é regular e qual grandeza a questão solicita. Só então escolha a fórmula e confira se a unidade final corresponde ao que foi calculado.
- Para a soma dos ângulos internos, use S = (n − 2) · 180°.
- Para cada ângulo interno de um polígono regular, divida a soma por n.
- Para o total de diagonais, aplique D = n(n − 3) / 2.
- Para ângulos externos de uma figura regular, calcule 360° / n.
- Para o perímetro, some os lados ou faça P = n · l quando todos forem iguais.
- Para a área, escolha a fórmula específica da figura ou decomponha-a em formas mais simples.
Como conferência final, não misture grandezas: ângulos são medidos em graus, perímetro em unidades lineares e área em unidades quadradas. Além disso, a soma dos ângulos internos pode ser aplicada a polígonos irregulares, mas o cálculo de um ângulo individual por divisão exige regularidade. Distinguir essas situações é essencial para resolver exercícios de geometria plana com precisão.
