Um simulado de equação da reta ajuda a praticar como encontrar, interpretar e comparar retas no plano cartesiano. Para resolvê-lo bem, é necessário reconhecer o coeficiente angular, usar pontos conhecidos e relacionar as diferentes formas algébricas da mesma reta. A seguir, revise os conceitos essenciais e responda às questões antes de consultar o gabarito comentado.
O que revisar antes do simulado
A reta é um conjunto infinito de pontos alinhados em um plano. Na geometria analítica, ela pode ser representada por uma equação que relaciona as coordenadas x e y de todos os seus pontos. Um ponto pertence à reta quando suas coordenadas tornam a equação verdadeira.
Na forma reduzida, a equação é escrita como y = mx + n. O número m é chamado de coeficiente angular e indica a inclinação da reta. Já n é o coeficiente linear: corresponde à ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y, isto é, o valor de y quando x vale zero.
Se m for positivo, a reta é crescente da esquerda para a direita. Se m for negativo, ela é decrescente. Quando m é igual a zero, a reta é horizontal e tem equação do tipo y = k. Por outro lado, uma reta vertical não pode ser representada por y = mx + n, pois sua equação é x = k.
Atenção: o coeficiente angular não é apenas um número decorado na fórmula. Ele mede a variação de y em relação à variação de x. Entre dois pontos A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), com x₁ diferente de x₂, vale m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
Formas da equação da reta
A escolha da forma da equação depende das informações apresentadas no enunciado. Conhecer mais de uma forma evita cálculos desnecessários e reduz erros de organização algébrica.
| Forma | Expressão | Quando é mais útil |
|---|---|---|
| Reduzida | y = mx + n | Quando se conhecem ou se deseja identificar a inclinação e o corte no eixo y. |
| Ponto-inclinação | y − y₀ = m(x − x₀) | Quando são dados um ponto da reta e seu coeficiente angular. |
| Geral | ax + by + c = 0 | Quando é preciso verificar pontos, comparar equações ou trabalhar com interseções. |
| Por dois pontos | (y − y₁)/(y₂ − y₁) = (x − x₁)/(x₂ − x₁) | Quando o enunciado fornece dois pontos distintos da reta. |
Obtendo a equação com dois pontos
Considere os pontos P(1, 2) e Q(3, 6). Primeiro, calcule a inclinação: m = (6 − 2)/(3 − 1) = 4/2 = 2. Depois, use a forma ponto-inclinação com P: y − 2 = 2(x − 1). Desenvolvendo, y − 2 = 2x − 2 e, portanto, y = 2x. Note que substituir as coordenadas de P ou Q nessa equação confirma que ambos pertencem à reta.
Paralelismo e perpendicularidade
Duas retas não verticais são paralelas quando possuem o mesmo coeficiente angular. Por exemplo, y = 3x + 1 e y = 3x − 5 são paralelas. Já duas retas são perpendiculares quando o produto de seus coeficientes angulares é −1. Assim, uma reta de inclinação 2 é perpendicular a outra de inclinação −1/2.
Esse último critério exige cuidado com retas horizontais e verticais. A horizontal y = k e a vertical x = k são perpendiculares entre si, embora a reta vertical não tenha coeficiente angular definido.
Estratégias para resolver questões
Em provas, uma questão sobre reta pode aparecer em linguagem algébrica, em gráfico, em situação de tarifa, deslocamento ou comparação entre grandezas. O princípio é o mesmo: identificar quais variáveis estão relacionadas e qual informação define a inclinação ou o ponto de passagem.
- Leia os dados como coordenadas: expressões como “passa por A(2, 5)” fornecem diretamente um ponto.
- Encontre m antes de montar a equação: se houver dois pontos, calcule a razão entre as variações das coordenadas.
- Substitua para achar o termo desconhecido: após determinar m, use um dos pontos para obter n ou a constante da forma geral.
- Teste o resultado: substitua ao menos um ponto conhecido na equação final.
- Observe casos especiais: mesma coordenada x indica reta vertical; mesma coordenada y indica reta horizontal.
Também é importante não confundir o ponto onde a reta intercepta o eixo y com qualquer ponto do gráfico. Na forma y = mx + n, a interseção com esse eixo é sempre (0, n). Para encontrar a interseção com o eixo x, faça y = 0 e resolva a equação obtida.
Simulado de equação da reta
Resolva as questões sem consultar a seção seguinte. Sempre que possível, escreva os cálculos: isso permite localizar se um eventual erro ocorreu na fórmula, na substituição ou no desenvolvimento algébrico.
A reta r passa pelos pontos A(2, 1) e B(6, 9). Determine seu coeficiente angular.
Encontre a equação reduzida da reta que passa pelo ponto P(3, 7) e possui coeficiente angular igual a 2.
Determine a equação da reta que passa por C(−1, 4) e D(2, −2).
Verifique se o ponto E(4, 11) pertence à reta y = 3x − 1.
Escreva uma equação da reta paralela a y = −4x + 6 que passa pelo ponto (2, 1).
Determine uma equação da reta perpendicular a y = (1/3)x − 2 e que passa por (3, 5).
Uma empresa cobra uma taxa fixa de R$ 8,00 mais R$ 2,50 por quilômetro percorrido. Considerando x a quantidade de quilômetros e y o preço total, escreva a equação da situação e identifique seus coeficientes.
As retas r: 2x − y + 3 = 0 e s: 4x − 2y − 5 = 0 são paralelas, coincidentes ou concorrentes? Justifique.
Gabarito comentado
1. m = (9 − 1)/(6 − 2) = 8/4 = 2. A reta sobe duas unidades em y a cada aumento de uma unidade em x.
2. Use y − 7 = 2(x − 3). Então y − 7 = 2x − 6, logo y = 2x + 1. A conferência é imediata: para x = 3, obtém-se y = 7.
3. O coeficiente angular é m = (−2 − 4)/(2 − (−1)) = −6/3 = −2. Pela forma ponto-inclinação, y − 4 = −2(x + 1). Desenvolvendo: y − 4 = −2x − 2, portanto y = −2x + 2.
4. Sim. Substituindo x = 4 em y = 3x − 1, temos y = 12 − 1 = 11. Como o valor calculado coincide com a coordenada y do ponto, E pertence à reta.
5. Retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular, portanto m = −4. Escrevendo y = −4x + n e usando o ponto (2, 1), resulta 1 = −8 + n. Assim, n = 9 e uma equação é y = −4x + 9.
6. O coeficiente angular da reta dada é 1/3. O coeficiente da perpendicular é o inverso com sinal trocado: −3. Logo, y − 5 = −3(x − 3), o que produz y = −3x + 14.
7. A taxa por quilômetro representa a inclinação, e a taxa fixa representa o termo independente. Portanto, a equação é y = 2,5x + 8. Nela, m = 2,5 e n = 8. O modelo supõe que o preço cresce de modo constante com a distância.
8. Reorganizando r, obtém-se y = 2x + 3. Em s, 4x − 2y − 5 = 0 leva a y = 2x − 2,5. As inclinações são iguais e os coeficientes lineares são diferentes. Logo, as retas são paralelas e distintas.
Pontos de revisão
Ao estudar equação da reta, priorize a interpretação das informações, e não apenas a memorização de fórmulas. Saber que dois pontos definem uma única reta permite compreender por que o cálculo do coeficiente angular é o primeiro passo em muitas questões.
- Na forma y = mx + n, m indica a inclinação e n indica o corte no eixo y.
- Com dois pontos, calcule m por (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
- Retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular.
- Para retas perpendiculares não verticais, m₁ · m₂ = −1.
- Reta horizontal: y = constante. Reta vertical: x = constante.
- Ao final, substitua um ponto conhecido para verificar a equação encontrada.
Refazer as questões em que houve erro é mais útil do que apenas reler o gabarito. Em especial, pratique a passagem entre as formas reduzida e geral, pois ela é recorrente em exercícios de geometria analítica.
