Sistema de equações: exercícios resolvidos passo a passo

Sistema de equações exercícios resolvidos passo a passo é um estudo que ajuda a encontrar valores desconhecidos que precisam satisfazer duas ou mais equações ao mesmo tempo. Nos sistemas mais comuns, há duas incógnitas, geralmente x e y, e duas equações do 1º grau. A solução é o par ordenado que torna todas as equações verdadeiras.

Para resolver bem, não basta decorar procedimentos: é necessário organizar as contas, respeitar os sinais e verificar a resposta no final. A seguir, você verá o significado do sistema, os métodos principais e exemplos detalhados que servem como modelo para exercícios escolares, vestibulares e ENEM.

O que é um sistema de equações?

Um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas pode ser escrito assim:

As letras a, b, c, d, e e f representam números conhecidos, enquanto x e y são as incógnitas. Resolver o sistema significa determinar um valor para x e outro para y que funcionem simultaneamente nas duas linhas.

Por exemplo, no sistema formado por x + y = 10 e x − y = 2, o par (6, 4) é solução. De fato, 6 + 4 = 10 e 6 − 4 = 2. Note que encontrar um par que funcione em apenas uma das equações não resolve o sistema: ele deve atender às duas condições.

Geometricamente, cada equação do 1º grau com duas incógnitas representa uma reta no plano cartesiano. Assim, um sistema pode apresentar três situações:

• Uma única solução: as retas se cruzam em um ponto.
• Nenhuma solução: as retas são paralelas e não se encontram.
• Infinitas soluções: as equações representam a mesma reta.

Na maior parte dos exercícios introdutórios, o sistema é possível e determinado, isto é, possui apenas uma solução.

Métodos para resolver sistemas

Os métodos algébricos mais usados são a substituição, a adição ou eliminação e a comparação. A escolha depende da forma em que as equações aparecem. Em todos eles, o objetivo é reduzir o problema a uma equação com uma incógnita.

Substituição

Isola-se uma incógnita em uma das equações e troca-se essa expressão na outra. É especialmente prático quando uma incógnita já está sozinha ou possui coeficiente 1 ou −1. Depois de obter o valor de uma variável, ele é usado para achar a outra.

Adição ou eliminação

Somam-se as duas equações, ou uma delas é multiplicada antes, para que uma das incógnitas desapareça. Esse método costuma ser ágil quando os coeficientes de x ou de y são opostos ou podem se tornar opostos com multiplicações simples.

Comparação

Isola-se a mesma incógnita nas duas equações. Como ambas as expressões são iguais à mesma variável, elas podem ser igualadas. Embora seja menos empregado em algumas listas, é útil para compreender a lógica dos sistemas e para casos em que o isolamento é simples.

Exercício resolvido pelo método da substituição

Resolva o sistema:

Primeiro, escolha uma das equações para isolar uma incógnita. Na primeira, é fácil isolar y:

x + y = 11
y = 11 − x

Agora, substitua y por 11 − x na segunda equação. É importante colocar a expressão entre parênteses quando ela vier depois de um sinal negativo, pois isso evita erro de sinal:

2x − (11 − x) = 4

Distribuindo o sinal de menos, temos:

2x − 11 + x = 4
3x − 11 = 4
3x = 15
x = 5

Com o valor de x, retorne à expressão que foi isolada:

y = 11 − x
y = 11 − 5
y = 6

Logo, a solução é (5, 6). A ordem é relevante: o primeiro número corresponde a x e o segundo, a y. Para conferir, substitua no sistema original: 5 + 6 = 11 e 2 · 5 − 6 = 4. As duas igualdades são verdadeiras.

Na substituição, o erro mais frequente ocorre ao retirar parênteses. Em uma expressão como −(11 − x), os sinais internos mudam: o resultado é −11 + x.

Exercício resolvido pelo método da adição

Resolva o sistema:

Nesse caso, os termos com y possuem coeficientes opostos: +2 e −2. Portanto, basta adicionar membro a membro as equações. Não se soma uma equação inteira a apenas um lado da outra; os dois lados devem participar da operação.

(3x + 2y) + (5x − 2y) = 16 + 8
8x = 24
x = 3

Os termos +2y e −2y se anulam. Em seguida, substitua x = 3 em qualquer uma das equações. Usando a primeira:

3x + 2y = 16
3 · 3 + 2y = 16
9 + 2y = 16
2y = 7
y = 7/2

A solução é (3, 7/2), ou (3, 3,5). Uma solução de sistema não precisa ser formada apenas por números inteiros. A conferência na segunda equação dá 5 · 3 − 2 · 7/2 = 15 − 7 = 8.

Quando os coeficientes não são opostos, multiplique uma ou ambas as equações. Por exemplo, se houver 2y em uma linha e 3y na outra, pode-se multiplicar a primeira por 3 e a segunda por −2. Assim, surgem 6y e −6y, que se eliminam ao somar.

Comparação entre os métodos

Não existe um único método obrigatório para todos os sistemas. O mais eficiente é aquele que diminui a quantidade de operações e torna os cálculos mais claros. A tabela resume quando cada estratégia costuma ser indicada.

Considere o sistema y = 2x + 1 e y = 10 − x. Pela comparação, como as duas expressões valem y, escrevemos 2x + 1 = 10 − x. Daí, 3x = 9, então x = 3. Substituindo em y = 2x + 1, obtém-se y = 7. A solução é (3, 7).

Problema contextualizado resolvido

Os sistemas aparecem quando duas informações se referem às mesmas quantidades. Observe este problema: em uma papelaria, 2 cadernos e 3 canetas custam R$ 19,00. Já 1 caderno e 2 canetas custam R$ 11,00. Qual é o preço de cada item?

Defina as incógnitas antes de montar as equações: seja c o preço de um caderno e p o preço de uma caneta. As informações fornecem o sistema:

O método da substituição é conveniente porque a segunda equação permite isolar c: c = 11 − 2p. Coloque isso na primeira equação:

2(11 − 2p) + 3p = 19
22 − 4p + 3p = 19
22 − p = 19
−p = −3
p = 3

Agora, calcule o preço do caderno: c = 11 − 2 · 3, logo c = 5. Portanto, cada caderno custa R$ 5,00 e cada caneta custa R$ 3,00. A interpretação final deve manter a unidade monetária, e a verificação confirma: 2 · 5 + 3 · 3 = 19.

Como conferir e evitar erros

A conferência é uma etapa curta e decisiva. Após obter o par ordenado, substitua os dois valores em cada equação inicial. Se uma delas não for satisfeita, reveja as operações: o resultado não é solução do sistema.

Alguns cuidados tornam a resolução mais segura:

1. Copie as equações alinhando termos semelhantes, como os de x, os de y e os números.
2. Ao multiplicar uma equação para aplicar a adição, multiplique todos os termos dos dois membros.
3. Ao trocar um termo de lado, altere corretamente seu sinal; alternativamente, faça a mesma operação nos dois lados da igualdade.
4. Use parênteses ao substituir uma expressão que contém soma ou subtração.
5. Apresente a resposta como par ordenado e interprete-a conforme o contexto do problema.

Também é necessário reconhecer resultados incomuns. Se, durante os cálculos, aparecer uma igualdade falsa, como 0 = 4, o sistema não tem solução. Se aparecer uma identidade, como 0 = 0, as equações podem representar a mesma reta e haver infinitas soluções. Nesses casos, não tente dividir por zero nem inventar um valor único para as incógnitas.

Pontos de revisão

Um sistema de duas equações do 1º grau procura um par de valores que satisfaça as duas condições simultaneamente. Antes de calcular, identifique as incógnitas e escolha um método compatível com os coeficientes apresentados.

• Use substituição quando for fácil isolar uma variável.
• Prefira adição quando puder eliminar uma incógnita ao somar as equações.
• Use comparação quando a mesma variável puder ser isolada nas duas linhas.
• Substitua o resultado no sistema original para confirmar a solução.
• Em problemas contextualizados, declare o significado das letras e escreva a resposta com a unidade adequada.

Praticar exercícios com métodos variados fortalece a compreensão. Mais importante que chegar rapidamente ao resultado é manter as igualdades organizadas e justificar cada transformação feita nas equações.