Inequação é uma sentença matemática que compara duas expressões por meio dos sinais maior que, menor que, maior ou igual a e menor ou igual a. Para resolvê-la, procura-se descobrir quais valores da incógnita tornam a comparação verdadeira. Nos exemplos resolvidos, o ponto mais importante é acompanhar as operações e observar quando o sentido do sinal deve ser invertido.
Esse conteúdo aparece desde problemas simples, como determinar valores possíveis para uma quantidade, até estudos de funções no ensino médio. Embora o procedimento lembre a resolução de equações, há uma diferença decisiva: em vez de obter, geralmente, um único valor para a incógnita, encontra-se um conjunto de valores ou um intervalo.
O que é uma inequação?
Uma equação apresenta uma igualdade, como 2x + 1 = 7. Já uma inequação utiliza uma desigualdade. Os símbolos mais usados são:
- >: maior que;
- <: menor que;
- ≥: maior ou igual a;
- ≤: menor ou igual a.
Na inequação 3x + 2 > 11, por exemplo, queremos saber quais valores de x fazem o lado esquerdo ser maior que 11. Se x = 4, temos 3 · 4 + 2 = 14, e 14 é maior que 11. Portanto, 4 é uma solução. Porém, ele não é o único: qualquer valor de x maior que 3 também satisfaz a desigualdade.
O conjunto solução pode ser escrito de diferentes formas. Para x > 3, escrevemos S = {x ∈ ℝ | x > 3} ou, na notação de intervalos, S = (3, +∞). O parêntese mostra que o número 3 não está incluído. Quando há “maior ou igual” ou “menor ou igual”, o extremo pertence ao conjunto e é indicado por colchete.
| Sinal | Leitura | Exemplo de intervalo |
|---|---|---|
| x > 2 | x é maior que 2 | (2, +∞) |
| x ≥ 2 | x é maior ou igual a 2 | [2, +∞) |
| x < 2 | x é menor que 2 | (−∞, 2) |
| x ≤ 2 | x é menor ou igual a 2 | (−∞, 2] |
Regras das desigualdades
É possível somar ou subtrair o mesmo número nos dois membros de uma inequação sem mudar o sinal. Também se pode multiplicar ou dividir ambos os lados por um número positivo, mantendo a desigualdade. A regra que exige mais atenção envolve números negativos.
Regra fundamental: ao multiplicar ou dividir os dois membros de uma inequação por um número negativo, é obrigatório inverter o sentido da desigualdade. Assim, > passa a <, ≥ passa a ≤ e vice-versa.
Por exemplo, se −2x > 8, dividimos os dois lados por −2. Como o divisor é negativo, o sinal inverte: x < −4. A verificação confirma o resultado: escolhendo x = −5, obtemos −2 · (−5) = 10, e 10 > 8.
A inversão ocorre porque a ordem dos números reais muda quando eles são multiplicados por um número negativo. Como 3 > 1, ao multiplicar ambos por −1 resulta −3 < −1. Essa ideia explica a regra, evitando que ela seja apenas decorada.
Inequações do primeiro grau: exemplos resolvidos
Uma inequação do primeiro grau apresenta a incógnita elevada a 1, como 4x − 5 ≤ 15. O objetivo é isolar x, usando operações equivalentes nos dois membros.
Exemplo 1: coeficiente positivo
Resolva 4x − 5 ≤ 15.
- Some 5 aos dois membros: 4x ≤ 20.
- Divida os dois membros por 4: x ≤ 5.
Logo, S = (−∞, 5]. O número 5 pertence ao conjunto porque a desigualdade contém o sinal “menor ou igual”. De fato, substituindo x por 5 na expressão inicial, temos 4 · 5 − 5 = 15, que é igual a 15.
Exemplo 2: coeficiente negativo
Resolva 7 − 3x > 1.
- Subtraia 7 dos dois membros: −3x > −6.
- Divida por −3 e inverta o sinal: x < 2.
Portanto, S = (−∞, 2). Note que x = 2 não é solução, pois a inequação pede um valor estritamente maior. Para testar, use x = 1: 7 − 3 · 1 = 4, e 4 > 1.
Exemplo 3: parênteses e denominadores
Resolva 2(x − 3) + 4 ≥ x + 1.
- Distribua o 2: 2x − 6 + 4 ≥ x + 1.
- Reduza os termos semelhantes: 2x − 2 ≥ x + 1.
- Subtraia x dos dois lados: x − 2 ≥ 1.
- Some 2 aos dois lados: x ≥ 3.
Nesse caso, S = [3, +∞). Antes de começar, simplificar cada lado da desigualdade costuma reduzir erros de cálculo.
Inequações produto e quociente
Nem toda inequação deve ser resolvida isolando x por meio de uma divisão. Quando há um produto de fatores ou uma fração algébrica, a estratégia mais segura é estudar o sinal de cada fator nos intervalos determinados por seus zeros.
Exemplo 4: produto de fatores
Resolva (x − 2)(x + 1) > 0. Primeiro, localize os valores que zeram cada fator: x = 2 e x = −1. Esses valores dividem a reta numérica em três intervalos: x < −1, −1 < x < 2 e x > 2.
Para x < −1, os dois fatores são negativos, e o produto é positivo. Entre −1 e 2, um fator é negativo e o outro é positivo, produzindo resultado negativo. Para x > 2, os dois fatores são positivos, e o produto é positivo. Como a inequação pede produto maior que zero, a solução é S = (−∞, −1) ∪ (2, +∞).
Exemplo 5: quociente
Resolva (x + 2)/(x − 1) ≤ 0. O numerador zera em x = −2 e o denominador zera em x = 1. O valor x = 1 nunca pode integrar a solução, pois tornaria a fração indefinida.
Nos intervalos x < −2, −2 < x < 1 e x > 1, o quociente apresenta, respectivamente, sinais positivo, negativo e positivo. A condição “menor ou igual a zero” inclui o valor que zera o numerador, x = −2, e inclui o intervalo em que a fração é negativa. Assim, S = [−2, 1).
Em inequações fracionárias, um zero do numerador pode ser incluído quando o sinal permitir; um zero do denominador é sempre excluído.
Inequações do segundo grau
Uma inequação do segundo grau envolve x², como x² − 5x + 6 ≥ 0. Uma forma eficiente de resolvê-la é fatorar a expressão, quando possível, e construir um estudo de sinais. Também é importante observar o sinal do coeficiente de x², pois ele indica a concavidade da parábola associada.
Considere x² − 5x + 6 ≥ 0. A fatoração é (x − 2)(x − 3) ≥ 0. As raízes são 2 e 3. Antes de 2, os fatores têm o mesmo sinal e o produto é positivo; entre 2 e 3, os sinais são diferentes e o produto é negativo; depois de 3, ambos são positivos novamente.
Como queremos valores maiores ou iguais a zero, incluímos as regiões positivas e as raízes, onde a expressão vale zero. Logo, S = (−∞, 2] ∪ [3, +∞). Em uma representação gráfica, a parábola cruza o eixo x em 2 e 3 e fica acima ou sobre o eixo fora do intervalo entre as raízes.
Se a expressão não puder ser fatorada facilmente, as raízes podem ser calculadas pela fórmula de Bhaskara. Depois disso, o estudo dos intervalos segue o mesmo princípio: identificar em quais regiões a expressão é positiva, negativa ou nula.
Sistemas de inequações
Um sistema reúne duas ou mais inequações que devem ser verdadeiras ao mesmo tempo. Portanto, a solução final é a interseção dos conjuntos solução, isto é, apenas os valores comuns a todas as condições.
Resolva o sistema formado por x + 2 > 0 e 3x − 6 ≤ 0. Na primeira inequação, x > −2. Na segunda, 3x ≤ 6 e, dividindo por 3, x ≤ 2. Como as duas condições precisam ocorrer simultaneamente, temos −2 < x ≤ 2. Em intervalos, S = (−2, 2].
Ao resolver sistemas, desenhar cada solução na reta numérica pode ajudar. A parte sobreposta corresponde à resposta. Não se deve unir os intervalos, exceto quando o enunciado apresenta alternativas ligadas por “ou”, e não por condições simultâneas.
Revisão e erros comuns
Resolver inequações exige organização algébrica e interpretação do conjunto solução. Uma resposta correta não termina apenas em um valor isolado: é preciso informar quais números reais satisfazem a condição e verificar se os extremos devem ou não ser incluídos.
- Identifique o sinal de desigualdade e observe se ele inclui igualdade.
- Realize a mesma operação nos dois membros.
- Inverta o sinal somente ao multiplicar ou dividir por número negativo.
- Em produtos, quocientes e expressões quadráticas, encontre os zeros e analise os sinais por intervalos.
- Exclua sempre os valores que anulam o denominador.
- Teste um valor de cada intervalo quando houver dúvida sobre o sinal.
Entre os erros mais frequentes estão esquecer a inversão ao dividir por número negativo, incluir um ponto que zera o denominador e confundir união com interseção em sistemas. Ao seguir o procedimento passo a passo e conferir a solução em alguns valores, a resolução se torna mais segura e compreensível.
