Este simulado de função modular reúne questões sobre definição de módulo, gráficos, equações e inequações, com gabarito comentado para você avaliar o que já domina e o que precisa revisar. O objetivo não é apenas chegar à resposta: é compreender como o módulo altera uma expressão e como essa ideia aparece em problemas de ensino médio, vestibulares e ENEM.
O que revisar antes de começar
O módulo, indicado por barras verticais, representa a distância de um número até o zero na reta real. Por ser uma distância, seu valor nunca é negativo. Assim, |5| = 5 e |-5| = 5. A definição algébrica é fundamental:
|x| = x, se x ≥ 0; e |x| = -x, se x < 0.
Uma função modular básica tem a forma f(x) = |x|. Seu gráfico é formado por duas semirretas que se encontram na origem e desenham um “V”. À direita do eixo y, ela coincide com y = x; à esquerda, coincide com y = -x. Portanto, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
Em expressões como f(x) = |x - a| + b, os números a e b provocam deslocamentos no gráfico. O valor de a está associado ao deslocamento horizontal, enquanto b indica o deslocamento vertical. O vértice, ponto mais baixo quando o coeficiente externo é positivo, fica em (a, b). Já em f(x) = -|x - a| + b, o sinal negativo externo inverte a abertura, formando um “V” voltado para baixo.
| Expressão | Transformação em relação a y = |x| | Vértice |
|---|---|---|
| |x - 2| | 2 unidades para a direita | (2, 0) |
| |x| + 3 | 3 unidades para cima | (0, 3) |
| -|x + 1| | 1 unidade para a esquerda e inversão vertical | (-1, 0) |
| 2|x - 4| - 1 | Alongamento vertical de razão 2, direita e para baixo | (4, -1) |
Também é importante distinguir três situações. Uma equação modular procura os valores que tornam dois lados iguais, como |x - 1| = 4. Uma inequação modular procura intervalos, como |x + 2| < 3. Já uma função pede análise mais ampla: domínio, imagem, zeros, vértice, crescimento e decrescimento, além do gráfico.
Como resolver questões de função modular
Não existe um único procedimento para todos os exercícios, mas algumas decisões tornam a resolução mais segura. Primeiro, localize a expressão que está dentro do módulo. Ela define os pontos em que a fórmula pode mudar. Em |x - 3|, por exemplo, a troca ocorre em x = 3: antes desse ponto, x - 3 é negativo; a partir dele, é não negativo.
Equações com módulo
Quando |A| = k, há três casos. Se k é positivo, A pode ser k ou -k, pois os dois números têm a mesma distância até zero. Se k = 0, necessariamente A = 0. Se k é negativo, não existe solução real, já que um módulo não pode ter resultado negativo.
Por exemplo, em |2x - 6| = 8, escreva 2x - 6 = 8 ou 2x - 6 = -8. As soluções são x = 7 e x = -1. Verificar os resultados na expressão original é uma prática simples que evita erros de sinal.
Inequações com módulo
Para k positivo, |A| < k significa que A está entre -k e k. Assim, -k < A < k. Já |A| > k significa que A está fora desse intervalo: A < -k ou A > k. A ideia geométrica ajuda: uma distância menor que k coloca o número perto de zero; uma distância maior que k o coloca longe de zero.
- Leia com atenção se a desigualdade é estrita: < ou > não inclui os extremos.
- Em ≤ ou ≥, os valores dos extremos pertencem ao conjunto-solução.
- Se o lado direito de uma inequação for negativo, analise antes de aplicar regras mecânicas.
- Ao esboçar gráficos, marque o vértice antes de escolher outros pontos.
Simulado: questões de função modular
Resolva as questões sem consultar o gabarito inicialmente. Se possível, registre os cálculos e faça esboços dos gráficos. Esse procedimento revela se um eventual erro ocorreu na interpretação, na álgebra ou na representação gráfica.
- O valor de |-7| + |3 - 8| é: a) -2; b) 2; c) 5; d) 12; e) 15.
- Determine o conjunto-solução da equação |x - 4| = 6.
- Uma função é dada por f(x) = |x + 2| - 3. Indique as coordenadas de seu vértice e calcule f(1).
- Resolva a inequação |2x - 1| < 5.
- A função g(x) = -|x - 3| + 4 possui valor máximo ou mínimo? Qual é esse valor e para qual x ele ocorre?
- Os zeros da função h(x) = |x - 1| - 2 são: a) x = 1; b) x = -1 e x = 3; c) x = -2 e x = 2; d) x = -3 e x = 1; e) não há zeros.
- Escreva a função f(x) = |x| em forma definida por partes, isto é, sem usar o símbolo de módulo.
- Um sensor registra a diferença, em graus Celsius, entre a temperatura T de uma sala e a temperatura ideal de 22 °C. O alarme é ativado quando essa diferença é maior que 3 °C. Represente a condição de ativação por uma inequação modular e determine os intervalos de temperatura que ativam o alarme.
Gabarito comentado
1. Alternativa d. Temos |-7| = 7 e |3 - 8| = |-5| = 5. Logo, a soma é 12. O erro mais comum é preservar o sinal negativo do número que está dentro das barras.
2. As soluções são x = 10 e x = -2. Como |x - 4| = 6, então x - 4 = 6 ou x - 4 = -6. Geometricamente, são os números que estão a distância 6 do número 4.
3. O vértice é (-2, -3), pois x + 2 pode ser escrito como x - (-2). Para calcular f(1), faça |1 + 2| - 3 = 3 - 3 = 0. Portanto, o ponto (1, 0) pertence ao gráfico.
4. Como |2x - 1| < 5, escrevemos -5 < 2x - 1 < 5. Somando 1 em todos os membros, obtemos -4 < 2x < 6. Dividindo por 2, resulta -2 < x < 3. Os extremos não entram porque a desigualdade é estrita.
5. A função possui valor máximo igual a 4, atingido em x = 3. O coeficiente negativo fora do módulo inverte o gráfico. Assim, o vértice deixa de ser um ponto mínimo e passa a ser o ponto mais alto da função.
6. Alternativa b. Para encontrar os zeros, resolvemos |x - 1| - 2 = 0, ou |x - 1| = 2. Portanto, x - 1 = 2 ou x - 1 = -2, fornecendo x = 3 e x = -1.
7. A forma por partes é: f(x) = x, se x ≥ 0; e f(x) = -x, se x < 0. Essa escrita explica o formato do gráfico: à esquerda, os valores negativos de x são multiplicados por -1 e ficam positivos.
8. A condição é |T - 22| > 3. Logo, T - 22 > 3 ou T - 22 < -3. Assim, o alarme é ativado se T > 25 °C ou se T < 19 °C. Nas temperaturas de 19 °C e 25 °C, ele não é ativado, pois a diferença é exatamente 3 °C, e o enunciado exige diferença maior.
Erros frequentes e estratégias de prova
Um equívoco recorrente é pensar que |a - b| pode ser trocado por a - b sem verificar o sinal. Na realidade, |a - b| mede a distância entre a e b, e por isso |a - b| = |b - a|. Essa interpretação é especialmente útil em questões contextualizadas sobre variação de temperatura, distância entre posições, tolerância de medidas e diferença de horários.
Outro erro é usar duas soluções em qualquer equação modular. A regra das duas possibilidades vale quando o lado direito é positivo. Por exemplo, |x + 1| = -4 não tem solução. Já |x + 1| = 0 tem apenas uma solução, x = -1. Antes de abrir os casos, observe o número que está do outro lado da igualdade.
Nos gráficos, cuidado para não confundir deslocamentos. Em |x - 5|, o vértice está em x = 5, não em x = -5. O sinal dentro do módulo atua de modo aparentemente invertido: x - a leva o vértice para a direita, enquanto x + a o leva para a esquerda. Uma forma eficiente de confirmar é zerar a expressão interna.
Em problemas de função modular, identificar onde a expressão interna vale zero costuma ser o primeiro passo para localizar o vértice, separar casos e interpretar o gráfico.
Síntese para revisão
Para revisar função modular, lembre-se de que o módulo representa uma distância e, por isso, é sempre não negativo. No gráfico de |x - a| + b, o vértice é (a, b). Se houver coeficiente negativo fora das barras, a abertura será voltada para baixo; se houver um coeficiente com valor absoluto maior que 1, o gráfico ficará mais inclinado.
- Em |A| = k, com k > 0, resolva A = k e A = -k.
- Em |A| < k, com k > 0, use -k < A < k.
- Em |A| > k, com k > 0, use A < -k ou A > k.
- Para conferir um gráfico, localize primeiro o ponto em que a expressão interna é zero.
- Ao terminar, substitua as soluções encontradas na expressão original.
Refazer as questões erradas após alguns dias é uma boa estratégia de estudo. Mais do que decorar regras, procure relacionar cada procedimento ao significado de distância: essa conexão torna equações, inequações e gráficos modulares mais compreensíveis.
