Progressão geométrica, ou PG, é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é obtido pela multiplicação do termo anterior por um mesmo número constante, chamado de razão. Esse conteúdo aparece em questões sobre crescimento, redução, juros compostos, escalas e sequências numéricas, sendo importante reconhecer sua regularidade antes de escolher uma fórmula.
Conceito de progressão geométrica
Considere a sequência 2, 6, 18, 54, ... . Para passar de um termo para o seguinte, multiplica-se sempre por 3: 2 × 3 = 6, 6 × 3 = 18 e 18 × 3 = 54. Portanto, essa é uma progressão geométrica de razão 3.
Em uma PG, os termos podem ser positivos, negativos, fracionários ou nulos. A regra principal é que a divisão de um termo por seu antecessor seja constante, desde que o antecessor não seja zero. Essa divisão é a razão da progressão, indicada geralmente pela letra q.
Por exemplo, na sequência 81, 27, 9, 3, 1, ... , cada termo é igual ao anterior multiplicado por 1/3. Logo, q = 1/3. Já na sequência 5, −10, 20, −40, ... , a razão é −2. O sinal alterna porque a multiplicação por um número negativo muda o sinal a cada etapa.
Não confunda PG com progressão aritmética (PA). Na PA, soma-se ou subtrai-se sempre uma mesma quantidade. Na PG, multiplica-se ou divide-se sempre pelo mesmo valor.
| Sequência | Regularidade | Tipo |
|---|---|---|
| 4, 7, 10, 13, ... | Adição de 3 | PA |
| 4, 12, 36, 108, ... | Multiplicação por 3 | PG |
| 64, 32, 16, 8, ... | Multiplicação por 1/2 | PG |
Elementos e classificação da PG
Os elementos básicos de uma PG são o primeiro termo, a razão e a posição de cada termo. O primeiro termo é representado por a₁; o segundo, por a₂; o terceiro, por a₃; e assim por diante. O termo de posição n é indicado por aₙ.
Se os primeiros termos forem conhecidos, a razão pode ser calculada por q = a₂/a₁. Também é possível usar dois termos consecutivos quaisquer: q = aₙ/aₙ₋₁. É necessário verificar se a mesma razão se mantém ao longo da sequência.
PG crescente, decrescente, constante e oscilante
A classificação depende do primeiro termo e da razão. Nem toda PG com razão maior que 1 é crescente: isso só ocorre, de modo simples, quando os termos são positivos. Observe situações frequentes:
- Se a₁ é positivo e q > 1, a PG é crescente, como 2, 6, 18, ... .
- Se a₁ é positivo e 0 < q < 1, a PG é decrescente, como 100, 50, 25, ... .
- Se q = 1, todos os termos são iguais; a PG é constante.
- Se q < 0, os sinais se alternam. Por isso, a sequência é oscilante, como 3, −6, 12, −24, ... .
- Se q = 0, o primeiro termo pode ser diferente de zero, mas todos os termos seguintes são zero.
Quando se analisa uma questão, é útil escrever alguns termos iniciais. Essa estratégia permite identificar erros de sinal e perceber se a sequência cresce, diminui ou alterna entre valores positivos e negativos.
Termo geral da PG
A fórmula do termo geral permite calcular qualquer elemento sem listar todos os anteriores. Para uma PG de primeiro termo a₁ e razão q, vale:
aₙ = a₁ × q^(n − 1)
O expoente é n − 1 porque o primeiro termo ainda não sofreu nenhuma multiplicação pela razão. Para obter o segundo termo, multiplica-se uma vez por q; para o terceiro, duas vezes; e assim sucessivamente.
Exemplo: determine o oitavo termo da PG 3, 6, 12, 24, ... . Temos a₁ = 3, q = 2 e n = 8. Assim, a₈ = 3 × 2^(8 − 1) = 3 × 2⁷ = 3 × 128 = 384.
Também é possível descobrir a posição de um termo. Na PG 5, 10, 20, 40, ... , em que posição aparece 640? Pela fórmula, 640 = 5 × 2^(n − 1). Dividindo por 5, obtém-se 128 = 2^(n − 1). Como 128 = 2⁷, então n − 1 = 7 e n = 8. O número 640 é o oitavo termo.
Soma dos termos de uma PG
A soma dos n primeiros termos de uma PG finita é indicada por Sₙ. Quando q é diferente de 1, usa-se a fórmula:
Sₙ = a₁ × (qⁿ − 1)/(q − 1)
Uma forma equivalente, muito usada quando q está entre 0 e 1, é Sₙ = a₁ × (1 − qⁿ)/(1 − q). As duas expressões levam ao mesmo resultado; a escolha pode tornar os cálculos mais claros e evitar denominadores negativos.
Se q = 1, a fórmula anterior não pode ser aplicada, pois haveria divisão por zero. Nesse caso, todos os n termos são iguais a a₁, logo Sₙ = n × a₁.
Exemplo: calcule a soma dos cinco primeiros termos da PG 2, 6, 18, 54, 162. Como a₁ = 2, q = 3 e n = 5, temos S₅ = 2 × (3⁵ − 1)/(3 − 1). Portanto, S₅ = 2 × (243 − 1)/2 = 242. A soma direta confirma: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242.
Soma de uma PG infinita
Uma PG infinita tem termos sem fim. Ainda assim, sua soma pode ter um valor finito quando o valor absoluto da razão é menor que 1, isto é, quando −1 < q < 1. Nessa condição, os termos se aproximam de zero e a soma é:
S∞ = a₁/(1 − q)
Por exemplo, 8, 4, 2, 1, ... tem a₁ = 8 e q = 1/2. Logo, S∞ = 8/(1 − 1/2) = 16. Isso não significa que a sequência termina em 16; significa que a soma de parcelas cada vez menores se aproxima de 16.
Comportamento e limite da PG
O estudo do comportamento dos termos ajuda a interpretar a PG além das fórmulas. Se q > 1 e a₁ é positivo, os termos crescem rapidamente. Esse crescimento é exponencial: cada novo termo é um múltiplo do anterior, e não apenas uma quantidade fixa maior.
Se 0 < q < 1, os termos positivos diminuem e se aproximam de zero sem necessariamente chegar a zero. Se q = −1, os termos alternam entre dois valores opostos, como 4, −4, 4, −4, ... . Quando q < −1, os valores absolutos crescem, mas os sinais continuam alternados.
O termo “limite” indica o valor de que os termos se aproximam à medida que n aumenta. Em uma PG com |q| < 1, o limite de aₙ é zero. Já quando q > 1, com primeiro termo positivo, não há aproximação de um número finito: os termos aumentam indefinidamente.
Aplicações e resolução de problemas
As PGs modelam fenômenos em que há variação percentual repetida ou multiplicação constante. Um capital aplicado a juros compostos, por exemplo, é multiplicado a cada período pelo fator 1 + i, em que i é a taxa de juros decimal. Uma população que dobra em intervalos regulares também pode ser representada por uma PG, desde que as condições do modelo sejam mantidas.
Em problemas escolares, a maior dificuldade costuma estar na tradução do enunciado para os elementos da sequência. Um desconto de 20% repetido, por exemplo, não equivale a subtrair 20 unidades: equivale a multiplicar por 0,8 a cada etapa.
- Identifique o valor inicial: ele corresponde, em geral, ao primeiro termo a₁.
- Determine o fator de multiplicação q. Aumento de 15% corresponde a 1,15; redução de 15% corresponde a 0,85.
- Verifique quantas multiplicações ocorreram. Isso define o expoente n − 1 no termo geral.
- Use a fórmula adequada: aₙ para um termo específico ou Sₙ para a soma de vários termos.
- Confira se o resultado faz sentido em relação ao comportamento esperado da sequência.
Exemplo: uma cultura possui 500 células e triplica a cada hora. Após 4 horas, ocorreram quatro multiplicações por 3. Portanto, o total é 500 × 3⁴ = 40.500 células. Se o enunciado chamasse 500 de “primeira hora”, seria necessário ajustar a posição do termo; por isso, a interpretação do marco inicial é decisiva.
Pontos de revisão
A PG é uma sequência definida por uma razão multiplicativa constante. Seu reconhecimento depende de observar a divisão entre termos consecutivos, e não a diferença entre eles. Com a₁ e q conhecidos, o termo geral é aₙ = a₁ × q^(n − 1).
- Use q = termo seguinte/termo anterior para encontrar a razão.
- Para a soma finita, aplique Sₙ = a₁ × (qⁿ − 1)/(q − 1), desde que q seja diferente de 1.
- Para q = 1, some n termos iguais: Sₙ = n × a₁.
- A soma infinita só existe quando |q| < 1.
- Em situações percentuais, transforme a taxa em fator multiplicativo antes de montar a PG.
Ao resolver exercícios, registre os dados, escreva a fórmula com as variáveis e só então substitua os valores. Esse procedimento reduz erros de expoente, de sinal e de interpretação da posição do termo.
