Os exercícios de função afim com gabarito ajudam a treinar a identificação da lei de formação, dos coeficientes, do zero e do gráfico de uma função do primeiro grau. Para resolvê-los, é essencial reconhecer que cada valor de entrada x está associado a um único valor de saída y, seguindo uma regra algébrica.
A função afim aparece em problemas sobre tarifas, lucros, distância percorrida, temperatura e muitas outras situações de variação. Por isso, o assunto é frequente no ensino fundamental II, no ensino médio, em vestibulares e no ENEM. A prática deve combinar cálculo, leitura de gráficos e interpretação do contexto apresentado.
O que é função afim?
Uma função afim é escrita, em sua forma geral, como f(x) = ax + b, em que a e b são números reais e a deve ser diferente de zero. Ela também é chamada de função polinomial do primeiro grau ou, em muitos materiais escolares, função do primeiro grau.
Na expressão, x é a variável independente: seu valor é escolhido ou informado no problema. Já f(x), que também pode ser indicada por y, é a variável dependente, pois seu resultado depende do valor atribuído a x. A letra a é o coeficiente angular, enquanto b é o coeficiente linear.
Por exemplo, na função f(x) = 3x − 2, se x = 4, então f(4) = 3 · 4 − 2 = 10. Portanto, o par ordenado (4, 10) pertence ao gráfico da função. O gráfico de toda função afim é uma reta, e dois pontos distintos são suficientes para desenhá-la no plano cartesiano.
Não confunda função afim com função constante. Em f(x) = ax + b, é necessário que a seja diferente de zero. Se a = 0, a expressão fica f(x) = b e representa uma função constante, cujo gráfico é uma reta horizontal.
Coeficientes e comportamento do gráfico
O coeficiente angular a informa a inclinação e o sentido da reta. Quando a é positivo, a função é crescente: à medida que x aumenta, f(x) também aumenta. Quando a é negativo, a função é decrescente: conforme x aumenta, f(x) diminui.
O coeficiente linear b determina o ponto em que o gráfico corta o eixo y. Basta fazer x = 0: f(0) = b. Já o ponto em que a reta encontra o eixo x é chamado de zero, raiz ou solução da função. Nesse caso, o valor de f(x) é igual a zero.
| Elemento | Como identificar | Significado no gráfico |
|---|---|---|
| Coeficiente angular a | Número que multiplica x | Indica se a reta cresce ou decresce |
| Coeficiente linear b | Termo independente | Indica onde a reta corta o eixo y |
| Zero da função | Solução de ax + b = 0 | Indica onde a reta corta o eixo x |
Para encontrar a raiz de f(x) = ax + b, igualamos a expressão a zero: ax + b = 0. Isolando x, obtemos x = −b/a. Na função f(x) = 2x − 6, por exemplo, temos 2x − 6 = 0, então 2x = 6 e x = 3. Assim, a reta intercepta o eixo x no ponto (3, 0).
Como resolver exercícios de função afim
Antes de realizar contas, leia o enunciado para identificar o que se pede. Algumas questões solicitam o valor da função para determinada entrada; outras exigem a raiz, a construção do gráfico ou a interpretação dos coeficientes em uma situação cotidiana.
- Escreva a lei de formação na forma f(x) = ax + b, quando ela for fornecida ou puder ser montada.
- Identifique os valores de a e b, observando os sinais de cada termo.
- Substitua x pelo valor pedido, se a questão solicitar a imagem de um número.
- Iguale f(x) a zero, se for necessário encontrar a raiz.
- Em problemas contextualizados, associe a a uma taxa de variação e b a um valor inicial, quando essa interpretação fizer sentido.
- Revise o resultado e verifique se ele é coerente com a situação descrita.
Quando a lei de formação não é dada diretamente, ela pode ser encontrada com base em dois pontos do gráfico ou de uma tabela. Se os pontos são (x₁, y₁) e (x₂, y₂), com x₁ diferente de x₂, o coeficiente angular é calculado por a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Depois, substitui-se um dos pontos em y = ax + b para determinar b.
Lista de exercícios
Resolva as questões antes de consultar o gabarito. Nos itens que envolvem gráfico, registre ao menos dois pontos da reta e indique as interseções com os eixos quando existirem.
- Na função f(x) = 4x − 7, determine os coeficientes angular e linear.
- Calcule f(−2) na função f(x) = −3x + 5.
- Encontre o zero da função g(x) = 5x + 15.
- Classifique a função h(x) = −2x + 8 como crescente ou decrescente. Justifique pela análise do coeficiente angular.
- Determine dois pontos pertencentes ao gráfico de p(x) = x − 4 e indique os pontos em que a reta corta os eixos x e y.
- Uma corrida por aplicativo cobra R$ 6,00 de taxa inicial e R$ 2,50 por quilômetro percorrido. Escreva a função C(x) que representa o custo da corrida para x quilômetros e calcule o preço para 8 km.
- Uma caixa-d'água contém 500 litros e perde 20 litros por hora devido a um vazamento. Escreva a função V(t) que representa o volume de água após t horas. Em quanto tempo o volume chegará a zero, considerando que o vazamento continue no mesmo ritmo?
- Uma função afim passa pelos pontos (1, 4) e (3, 10). Determine sua lei de formação.
- O gráfico de uma função afim corta o eixo y no ponto (0, −3) e o eixo x no ponto (6, 0). Determine a função.
- Em f(x) = ax + b, sabe-se que f(2) = 9 e f(5) = 18. Encontre os valores de a e b.
Gabarito comentado
- Em f(x) = 4x − 7, o número que multiplica x é 4. Logo, a = 4 e b = −7.
- Substituindo x por −2, temos f(−2) = −3 · (−2) + 5 = 6 + 5 = 11.
- Para encontrar a raiz, fazemos 5x + 15 = 0. Então 5x = −15 e x = −3.
- A função é decrescente, pois a = −2 é negativo. Isso significa que os valores de h(x) diminuem quando x aumenta.
- Para x = 0, p(0) = −4, resultando no ponto (0, −4). Para x = 4, p(4) = 0, resultando no ponto (4, 0). Esses são também os pontos de interseção com os eixos y e x, respectivamente.
- A taxa por quilômetro é 2,50 e a taxa inicial é 6. Portanto, C(x) = 2,50x + 6. Para 8 km, C(8) = 2,50 · 8 + 6 = 26. O custo é R$ 26,00.
- O volume inicial é 500 e a variação é negativa, de 20 litros por hora: V(t) = 500 − 20t. Para descobrir quando zera, resolvemos 500 − 20t = 0. Assim, 20t = 500 e t = 25 horas.
- O coeficiente angular é a = (10 − 4)/(3 − 1) = 6/2 = 3. Usando o ponto (1, 4), temos 4 = 3 · 1 + b; logo, b = 1. A função é f(x) = 3x + 1.
- O coeficiente linear é b = −3. Como a raiz é 6, temos 0 = 6a − 3. Portanto, 6a = 3, a = 1/2 e f(x) = x/2 − 3.
- A variação de y é 18 − 9 = 9 e a variação de x é 5 − 2 = 3. Assim, a = 9/3 = 3. Em f(2) = 9: 3 · 2 + b = 9, então b = 3. A função é f(x) = 3x + 3.
Erros comuns em função afim
Um erro frequente é trocar os papéis de a e b. Em f(x) = −4x + 2, por exemplo, a é −4 e b é 2, mesmo que o termo com x apareça primeiro. Também é importante preservar os sinais: em −3x − 5, o coeficiente linear é −5, e não 5.
Outro equívoco é achar a raiz apenas observando b. O termo b mostra a interseção com o eixo y; para encontrar a interseção com o eixo x, é obrigatório fazer f(x) = 0. Em questões sobre gráficos, ainda é necessário lembrar que uma reta crescente pode estar abaixo do eixo x em parte de seu percurso: o crescimento depende de a, não da posição inicial b.
Pontos de revisão
Para revisar função afim, memorize a estrutura f(x) = ax + b e associe cada coeficiente a uma informação do gráfico. O valor de a determina a inclinação e o sentido da reta; o valor de b indica a interseção com o eixo y; e a raiz é obtida ao resolver ax + b = 0.
- Se a > 0, a função é crescente.
- Se a < 0, a função é decrescente.
- O ponto (0, b) pertence sempre ao gráfico.
- A raiz é x = −b/a, desde que a seja diferente de zero.
- Em problemas práticos, verifique o significado das unidades, como reais, quilômetros, horas ou litros.
Ao praticar, alterne exercícios algébricos, gráficos e contextualizados. Esse cuidado permite compreender não só como executar os cálculos, mas também como interpretar o que a função representa em cada situação.
