As questões de semelhança de triângulos com respostas exigem que você reconheça figuras com a mesma forma, ainda que tenham tamanhos diferentes, e use proporções entre lados correspondentes para descobrir medidas desconhecidas. O ponto principal é identificar o critério de semelhança, organizar os vértices na ordem correta e montar uma igualdade entre razões equivalentes.
Esse assunto aparece com frequência em problemas de geometria, escalas, sombras, mapas e medidas indiretas. Em vez de decorar fórmulas isoladas, é mais seguro entender por que os lados correspondentes mantêm uma mesma razão. Assim, você consegue adaptar o raciocínio a desenhos diferentes.
O que é semelhança de triângulos?
Dois triângulos são semelhantes quando possuem ângulos correspondentes com medidas iguais e lados correspondentes proporcionais. Isso significa que um deles pode ser obtido a partir do outro por uma ampliação ou redução, sem alterar sua forma.
Se o triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF, escrevemos ABC ~ DEF. A ordem das letras informa as correspondências: A corresponde a D, B corresponde a E e C corresponde a F. Portanto, os lados AB e DE são correspondentes; BC e EF também; por fim, AC e DF.
Suponha que os lados de ABC sejam 3 cm, 4 cm e 5 cm, enquanto os lados de DEF sejam 6 cm, 8 cm e 10 cm. Cada lado do segundo é o dobro do correspondente no primeiro. Como a razão é constante, os triângulos são semelhantes.
Atenção: triângulos semelhantes não precisam ter lados iguais. Quando todos os lados e ângulos correspondentes são iguais, eles são congruentes. A congruência é, portanto, um caso particular de semelhança cuja razão vale 1.
Critérios de semelhança
Para provar que dois triângulos são semelhantes, não é necessário conhecer todas as medidas. Existem critérios que garantem a semelhança a partir de determinadas informações.
Ângulo-Ângulo (AA)
Se dois ângulos de um triângulo são respectivamente iguais a dois ângulos de outro, os triângulos são semelhantes. O terceiro ângulo também será igual, pois a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°.
Lado-Ângulo-Lado (LAL)
Dois triângulos são semelhantes se possuem dois lados correspondentes proporcionais e o ângulo compreendido entre esses lados igual. O ângulo deve estar entre os dois lados que foram comparados.
Lado-Lado-Lado (LLL)
O critério LLL vale quando os três pares de lados correspondentes são proporcionais. Por exemplo, lados 4, 6 e 8 em um triângulo e 6, 9 e 12 em outro têm razão 2/3 na comparação entre o primeiro e o segundo.
| Critério | Informações necessárias | Ideia principal |
|---|---|---|
| AA | Dois ângulos correspondentes iguais | Mesma forma pelos ângulos |
| LAL | Dois lados proporcionais e ângulo entre eles igual | Proporção com ângulo incluído |
| LLL | Três pares de lados proporcionais | Uma única razão para todos os lados |
Proporção e razão de semelhança
A razão de semelhança, geralmente indicada por k, é o quociente entre dois lados correspondentes. Se um lado de uma figura mede 5 e o correspondente na outra mede 15, a razão do primeiro para o segundo é 5/15, ou 1/3. Isso quer dizer que o segundo triângulo é três vezes maior nas medidas lineares.
Quando a ordem de comparação é mantida, as razões são iguais:
AB/DE = BC/EF = AC/DF.
Não se deve misturar lados que ocupam posições diferentes. Antes de escrever a proporção, compare os ângulos: lados opostos a ângulos iguais são correspondentes. Em desenhos com orientação invertida ou girada, essa etapa evita que medidas corretas sejam combinadas de modo errado.
A razão k também permite relacionar outras grandezas. Os perímetros de triângulos semelhantes variam na razão k. Já as áreas variam na razão k². Assim, se as medidas dos lados dobram, o perímetro dobra, mas a área fica quatro vezes maior.
- Razão de lados: k.
- Razão de perímetros: k.
- Razão de áreas: k².
Como resolver questões de semelhança de triângulos
Uma solução organizada diminui bastante os erros de cálculo. Mesmo quando a figura parece simples, marque as medidas e os ângulos fornecidos antes de operar.
- Observe o desenho: procure ângulos iguais, retas paralelas, ângulos opostos pelo vértice ou um ângulo comum aos dois triângulos.
- Determine o critério: justifique a semelhança por AA, LAL ou LLL.
- Estabeleça a correspondência: escreva os vértices em uma ordem coerente, como ABC ~ DEF.
- Monte uma proporção: escolha dois pares de lados conhecidos e o par que contém a incógnita.
- Resolva e confira: verifique se o resultado combina com uma ampliação ou uma redução da figura.
Em problemas com uma reta paralela a um lado do triângulo, costuma surgir o Teorema de Tales. Se, no triângulo ABC, uma reta DE é paralela a BC, com D em AB e E em AC, então os triângulos ADE e ABC são semelhantes pelo critério AA. Daí resulta AD/AB = AE/AC = DE/BC.
Uma proporção só é confiável quando os numeradores representam lados correspondentes entre si e os denominadores também representam lados correspondentes entre si.
Questões resolvidas com respostas
Questão 1: cálculo de lado correspondente
Os triângulos ABC e DEF são semelhantes. Sabe-se que AB = 6 cm, BC = 9 cm, DE = 10 cm e EF = x. Determine x, sabendo que AB corresponde a DE e BC corresponde a EF.
Resposta: como os lados são correspondentes, 6/10 = 9/x. Fazendo a multiplicação cruzada, 6x = 90. Logo, x = 15 cm. A razão de ampliação de ABC para DEF é 10/6 = 5/3, e 9 multiplicado por 5/3 resulta em 15.
Questão 2: identificação pelo critério LLL
Um triângulo tem lados 5 cm, 7 cm e 9 cm. Outro tem lados 10 cm, 14 cm e 18 cm. Eles são semelhantes?
Resposta: sim. Comparando os lados em ordem crescente, 5/10 = 7/14 = 9/18 = 1/2. Como os três pares de lados são proporcionais, aplica-se o critério LLL. O segundo triângulo tem razão de semelhança 2 em relação ao primeiro.
Questão 3: triângulo e paralela
No triângulo ABC, D pertence ao lado AB e E pertence ao lado AC. Sabendo que DE é paralelo a BC, AD = 4 cm, AB = 10 cm e AC = 15 cm, calcule AE.
Resposta: pela paralela, os triângulos ADE e ABC são semelhantes. Portanto, AD/AB = AE/AC. Substituindo os valores: 4/10 = AE/15. Então, 10AE = 60 e AE = 6 cm.
Questões para praticar com respostas
Questão 4
Dois triângulos semelhantes têm razão de semelhança 3/5, do menor para o maior. Se um lado do menor mede 12 cm, quanto mede o lado correspondente no maior?
Resposta: a relação é 12/x = 3/5. Assim, 3x = 60 e x = 20 cm. Como se trata do triângulo maior, o valor precisa mesmo ser superior a 12 cm.
Questão 5
Dois triângulos semelhantes possuem razão de semelhança 2/3, do primeiro para o segundo. A área do primeiro é 32 cm². Qual é a área do segundo?
Resposta: a razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os lados: (2/3)² = 4/9. Logo, 32/A = 4/9. Portanto, A = 32 × 9/4 = 72 cm².
Questão 6
Os triângulos PQR e XYZ têm ângulos P e X iguais a 40° e ângulos Q e Y iguais a 65°. É possível afirmar que são semelhantes?
Resposta: sim. Existem dois pares de ângulos correspondentes iguais, então vale o critério AA. O terceiro ângulo de cada triângulo mede 75°, pois 180° − 40° − 65° = 75°.
Revisão final
Para resolver problemas de semelhança, comece pelos ângulos e só depois relacione os lados. Lembre-se de que a ordem dos vértices determina quais lados devem ser comparados. Se ABC ~ DEF, a correspondência é A-D, B-E e C-F.
- Triângulos semelhantes têm ângulos correspondentes iguais.
- Os lados correspondentes são proporcionais por uma mesma razão.
- Os critérios principais são AA, LAL e LLL.
- Perímetros acompanham a razão dos lados; áreas acompanham o quadrado dessa razão.
- Retas paralelas em um triângulo frequentemente formam triângulos semelhantes.
Ao conferir uma resposta, observe se ela respeita a escala entre as figuras. Essa verificação simples ajuda a perceber inversões de fração e correspondências equivocadas antes de finalizar o cálculo.
