Exercícios de logaritmos são resolvidos principalmente ao transformar uma expressão logarítmica em potência, aplicar propriedades com atenção e verificar as condições de existência. O tema aparece no ensino médio e em vestibulares porque relaciona potências, equações e funções. Antes de memorizar regras, é importante compreender o significado de cada elemento da escrita logarítmica.
O que revisar antes de resolver
O logaritmo responde a uma pergunta simples: qual expoente deve ser colocado em uma base para obter determinado número? Na igualdade logba = x, temos a equivalência bx = a. Portanto, calcular log28 significa procurar o expoente ao qual 2 deve ser elevado para resultar em 8. Como 23 = 8, o resultado é 3.
Essa equivalência é o caminho mais seguro nos cálculos iniciais. Ela também ajuda a interpretar valores que não são inteiros. Por exemplo, log100,1 = -1, pois 10-1 = 0,1. Já log31 = 0, porque toda base não nula elevada a zero é igual a 1.
Para que um logaritmo real exista, três condições devem ser obedecidas:
- o argumento deve ser positivo: a > 0;
- a base deve ser positiva: b > 0;
- a base deve ser diferente de 1: b ≠ 1.
Assim, log2(-5) não existe no conjunto dos números reais. Também não faz sentido escrever logaritmo de base 1, pois as potências de 1 são sempre iguais a 1 e não permitem determinar um expoente de modo único. Essas restrições devem ser verificadas sobretudo em equações, nas quais a variável pode tornar o argumento negativo.
Ideia-chave: sempre que puder, converta o logaritmo em potência. A igualdade logba = x equivale exatamente a bx = a.
Propriedades essenciais dos logaritmos
As propriedades simplificam produtos, quocientes e potências. Elas só podem ser usadas quando todos os logaritmos envolvidos estiverem definidos. Um erro frequente é distribuir o logaritmo em uma soma: em geral, log(a + c) não é igual a log a + log c.
| Propriedade | Forma geral | Leitura |
|---|---|---|
| Produto | logb(MN) = logbM + logbN | Multiplicação vira soma. |
| Quociente | logb(M/N) = logbM − logbN | Divisão vira subtração. |
| Potência | logb(Mp) = p · logbM | Expoente passa a multiplicar. |
| Logaritmo da base | logbb = 1 | A base elevada a 1 é ela mesma. |
| Logaritmo de 1 | logb1 = 0 | A base elevada a 0 resulta em 1. |
Considere a expressão log24 + log28. Pela propriedade do produto, ela equivale a log2(4 · 8), isto é, log232 = 5. Também seria possível calcular cada parcela: 2 mais 3 resulta em 5.
Na propriedade da potência, é importante não confundir o expoente do argumento com um número colocado fora do logaritmo. Por exemplo, log381 = log3(34) = 4. De modo equivalente, log3(x2) = 2log3x, desde que x > 0.
Estratégia para resolver exercícios
Um bom procedimento reduz erros de sinal, de base e de domínio. Nem toda questão exige usar todas as propriedades: às vezes, reconhecer uma potência conhecida é mais rápido. Em outras, será necessário reunir vários logaritmos em apenas um para chegar a uma equação mais simples.
- Identifique a base e o argumento. Observe se a base é comum, isto é, 10, ou se está indicada explicitamente.
- Verifique as condições de existência. Argumentos precisam ser positivos; em expressões com variável, transforme essa exigência em uma restrição para a incógnita.
- Procure potências conhecidas. Bases como 2, 3, 5 e 10 permitem reconhecer diversos valores rapidamente.
- Escolha a propriedade adequada. Produto, quociente e potência servem para reorganizar a expressão, mas não para separar somas ou diferenças internas ao argumento.
- Converta em forma exponencial quando necessário. Essa etapa costuma resolver equações em que há apenas um logaritmo de cada lado.
- Confira a resposta no problema original. Uma solução algébrica pode ser excluída se tornar algum argumento igual a zero ou negativo.
Em provas, a organização visual é importante. Escrever cada transformação em uma linha permite perceber, por exemplo, se uma subtração foi trocada indevidamente por divisão ou se uma constante foi esquecida ao aplicar a propriedade da potência.
Exercícios resolvidos de cálculo
Exercício 1: cálculo direto
Calcule log5125. Como 125 = 53, temos log5125 = log553 = 3. A resposta informa que o expoente procurado é 3.
Exercício 2: uso de produto e quociente
Simplifique log224 − log23. Pela propriedade do quociente, obtemos log2(24/3). Logo, a expressão vale log28 = 3. Note que as duas parcelas têm a mesma base, requisito necessário para reuni-las dessa maneira.
Exercício 3: aplicação da propriedade da potência
Determine o valor de log101000 − log1010. Como 1000 é 103 e 10 é 101, a expressão é igual a 3 − 1 = 2. Pela regra do quociente, o mesmo resultado seria log10100.
Exercício 4: base menor que 1
Calcule log1/28. Devemos encontrar x tal que (1/2)x = 8. Como 8 = 23 e (1/2)-3 = 23, o valor é -3. Bases entre 0 e 1 são permitidas, mas fazem o comportamento da potência ser decrescente.
Equações logarítmicas e domínio
Uma equação logarítmica apresenta a incógnita no argumento, na base ou em ambos. Nos exercícios elementares, a base geralmente é fixa. Se dois logaritmos de mesma base são iguais, seus argumentos também são iguais, desde que estejam no domínio. Assim, de log4(x + 1) = log49, resulta x + 1 = 9, logo x = 8.
Considere agora log2(x − 1) = 3. A forma exponencial fornece x − 1 = 23. Portanto, x = 9. Antes mesmo de resolver, o domínio exige x − 1 > 0, ou seja, x > 1. A solução 9 é válida.
Em uma expressão como log3x + log3(x − 2) = 2, primeiro reúna os termos: log3[x(x − 2)] = 2. Em seguida, passe para a forma exponencial: x(x − 2) = 9. Desenvolvendo, temos x2 − 2x − 9 = 0. As raízes são x = 1 ± √10. Porém, o domínio original exige simultaneamente x > 0 e x − 2 > 0; portanto, x > 2. Só 1 + √10 é solução.
Cuidado: resolver a equação algébrica obtida não encerra a questão. A resposta final precisa satisfazer todos os argumentos logarítmicos da expressão inicial.
Mudança de base e aplicações
Quando a base não é conveniente, usa-se a fórmula de mudança de base: logba = logca / logcb, com c válida como base. Na calculadora, é comum usar logaritmos decimais ou naturais. Por exemplo, log27 = log 7 / log 2. Esse valor não é inteiro porque 7 não é uma potência exata de 2.
A fórmula também permite comparar logaritmos de bases distintas. Para calcular log48, pode-se escrever log 8 / log 4. Contudo, reconhecer as potências é mais eficiente: 4x = 8 equivale a 22x = 23, então 2x = 3 e x = 3/2.
Os logaritmos aparecem em escalas e modelos nos quais variações muito grandes precisam ser representadas de forma compacta. Exemplos conhecidos incluem a escala de pH e a intensidade sonora em decibéis. Em questões escolares, porém, o foco costuma ser a manipulação algébrica e a interpretação da relação entre potência e logaritmo.
Pontos de revisão
Para consolidar o estudo, volte sempre à definição: o logaritmo é um expoente. Em seguida, memorize as condições da base e do argumento, pois elas evitam respostas sem significado nos reais. As propriedades são ferramentas de transformação e exigem argumentos positivos e bases iguais quando se pretende juntar logaritmos.
- Definição: logba = x se, e somente se, bx = a.
- Domínio: argumento positivo; base positiva e diferente de 1.
- Produto e quociente: multiplicação vira soma, e divisão vira subtração.
- Potência: o expoente do argumento passa a multiplicar o logaritmo.
- Equações: imponha o domínio, resolva e teste as soluções no enunciado original.
- Erro comum: não existe propriedade que transforme log(a + b) em log a + log b.
Ao praticar, alterne cálculos diretos, simplificações e equações. Essa sequência ajuda a perceber que as propriedades não são regras isoladas: todas decorrem da relação fundamental entre logaritmos e potências.
