As equações do 1º grau com duas incógnitas são igualdades algébricas que envolvem duas letras, geralmente x e y, sem expoentes maiores que 1. Uma equação desse tipo possui, em geral, muitas soluções: cada solução é um par ordenado de valores que torna a igualdade verdadeira. Quando duas equações são reunidas em um sistema, procura-se o par que satisfaz ambas ao mesmo tempo.
O que são equações lineares com duas incógnitas
Uma equação do 1º grau com duas incógnitas pode ser escrita na forma ax + by = c, em que a, b e c são números reais e os coeficientes de x e y não podem ser simultaneamente zero. Ela também recebe o nome de equação linear de duas variáveis.
Por exemplo, na equação 2x + 3y = 12, os números 2 e 3 são coeficientes das incógnitas, e 12 é o termo independente. Já x + y² = 8 não é uma equação do 1º grau com duas incógnitas, pois a variável y está elevada ao quadrado. Da mesma maneira, xy = 6 não é linear, porque há uma multiplicação entre as incógnitas.
A expressão “duas incógnitas” não significa que sempre haverá somente uma resposta. Diferentemente de uma equação como 3x = 15, cuja solução é x = 5, uma única equação com x e y costuma admitir infinitos pares de valores. Isso acontece porque, ao escolher um valor adequado para uma variável, é possível calcular o valor correspondente da outra.
Em uma equação linear de duas incógnitas, a solução é representada por um par ordenado, como (2, 4). A ordem importa: (2, 4) é diferente de (4, 2).
Soluções e representação no plano cartesiano
Para verificar se um par ordenado resolve uma equação, substitua os valores de x e y na igualdade. Considere x + y = 6. O par (2, 4) é solução porque 2 + 4 = 6. O par (1, 3) não é solução, pois 1 + 3 é igual a 4, e não a 6.
Uma forma prática de encontrar alguns pares é atribuir valores a uma das variáveis. Na equação x + y = 6, podemos isolar y: y = 6 − x. Em seguida, escolhemos valores para x e calculamos y.
| Valor de x | Cálculo de y = 6 − x | Par ordenado |
|---|---|---|
| 0 | y = 6 − 0 = 6 | (0, 6) |
| 2 | y = 6 − 2 = 4 | (2, 4) |
| 6 | y = 6 − 6 = 0 | (6, 0) |
No plano cartesiano, cada par ordenado corresponde a um ponto: o primeiro número indica a posição no eixo horizontal, chamado eixo x, e o segundo indica a posição no eixo vertical, chamado eixo y. Todos os pontos que satisfazem uma equação linear ficam alinhados, formando uma reta. Por isso, também é comum falar em equação da reta.
Para desenhar o gráfico, bastam dois pontos distintos da reta, embora um terceiro ponto ajude a conferir o traçado. Na equação x + y = 6, os pontos (0, 6) e (6, 0) permitem construir a reta. Os pontos sobre ela representam todas as infinitas soluções da equação.
Sistemas de equações do 1º grau
Um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas reúne duas ou mais equações que devem ser verdadeiras simultaneamente. No caso mais estudado, há duas equações e duas incógnitas, como 2x + y = 7 e x − y = 2. A solução do sistema é o par ordenado comum às duas equações.
Geometricamente, cada equação representa uma reta. Resolver o sistema equivale a descobrir como essas retas se relacionam. Se elas se cruzam em um único ponto, as coordenadas desse ponto são a solução. Essa interpretação também ajuda a entender por que alguns sistemas não têm solução ou apresentam infinitas soluções.
Antes de iniciar os cálculos, organize os termos semelhantes em cada membro da igualdade. Mantenha x e y na mesma posição quando possível e os números no outro lado. Essa organização reduz erros de sinal e facilita a aplicação dos métodos algébricos.
- Substituição: isola-se uma incógnita e coloca-se sua expressão na outra equação.
- Adição ou eliminação: somam-se as equações para cancelar uma incógnita.
- Comparação: isolam-se expressões equivalentes para a mesma incógnita e igualam-se os resultados.
- Gráfico: localiza-se visualmente a interseção das retas, quando a escala permite precisão suficiente.
Método da substituição
O método da substituição é especialmente conveniente quando uma das equações já apresenta uma incógnita isolada ou quando isso pode ser feito facilmente. Veja o sistema formado por x + y = 9 e 2x − y = 3. Na primeira equação, isolamos y: y = 9 − x.
Agora, substituímos 9 − x no lugar de y na segunda equação: 2x − (9 − x) = 3. É essencial usar parênteses, pois o sinal negativo antes deles altera os sinais internos. Desenvolvendo a expressão, obtemos 2x − 9 + x = 3. Portanto, 3x = 12 e x = 4.
Com o valor de x, retornamos a uma das equações originais. Em y = 9 − x, temos y = 9 − 4, logo y = 5. Assim, a solução é (4, 5). A verificação confirma o resultado: 4 + 5 = 9 e 2 · 4 − 5 = 3.
Cuidados durante a substituição
Não se deve substituir somente parte de uma expressão. Se y = 9 − x, o valor inteiro de y é 9 − x. Outro cuidado é não esquecer que resolver uma equação intermediária não encerra o processo: ainda é necessário encontrar a outra incógnita e testar o par nas duas equações do sistema.
Método da adição ou eliminação
No método da adição, manipulamos as equações para que os coeficientes de uma incógnita sejam opostos. Ao somar os membros correspondentes, essa incógnita é eliminada. Considere o sistema 2x + y = 11 e 3x − y = 9. Como y e −y já são opostos, basta somar as equações.
A soma resulta em 5x = 20, portanto x = 4. Substituindo esse valor na primeira equação, temos 2 · 4 + y = 11; então y = 3. Logo, a solução é (4, 3). Observe que a adição foi útil porque a eliminação de y ocorreu imediatamente.
Quando os coeficientes não são opostos, multiplica-se uma ou ambas as equações por números adequados. No sistema x + 2y = 8 e 3x − y = 3, podemos multiplicar a segunda equação por 2. Ela passa a ser 6x − 2y = 6. Ao somá-la à primeira, obtemos 7x = 14, de onde x = 2. Depois, em x + 2y = 8, concluímos que y = 3.
- Escolha a incógnita que será eliminada.
- Multiplique as equações, se necessário, para obter coeficientes opostos.
- Some membro a membro e resolva a equação com uma incógnita.
- Substitua o valor encontrado em uma equação original.
- Verifique o par nas duas equações.
Classificação dos sistemas
Nem todo sistema tem uma única solução. A classificação depende da quantidade de pares ordenados que satisfazem simultaneamente as equações e corresponde à posição das retas no plano cartesiano.
| Classificação | Número de soluções | Interpretação gráfica |
|---|---|---|
| Sistema possível e determinado | Uma | Retas secantes, que se cruzam em um ponto. |
| Sistema possível e indeterminado | Infinitas | Retas coincidentes, isto é, a mesma reta. |
| Sistema impossível | Nenhuma | Retas paralelas distintas. |
Por exemplo, x + y = 4 e 2x + 2y = 8 formam um sistema possível e indeterminado: a segunda equação é o dobro da primeira, portanto ambas descrevem os mesmos pontos. Já x + y = 4 e x + y = 7 são incompatíveis. Se subtrairmos uma da outra, surge a igualdade 0 = 3, que é falsa; assim, não existe par que resolva as duas equações.
Aplicações e pontos de revisão
Sistemas aparecem em problemas que envolvem duas condições desconhecidas. Imagine que 20 ingressos foram vendidos entre estudantes, a 10 reais, e público geral, a 15 reais, totalizando 240 reais. Se x for o número de ingressos estudantis e y o número de ingressos do público geral, montamos x + y = 20 e 10x + 15y = 240. Resolver o sistema mostra quantos ingressos houve de cada tipo.
Em problemas escritos, a etapa mais importante é definir claramente o significado das variáveis e traduzir cada informação em uma equação. Depois da resolução, analise se os valores fazem sentido no contexto. Quantidades de pessoas, objetos ou produtos, por exemplo, não podem ser negativas e, em muitos casos, devem ser inteiras.
Revisão final: uma equação linear com duas incógnitas representa uma reta e tem pares ordenados como soluções. Um sistema busca o ponto comum entre duas retas. Use substituição quando for simples isolar uma letra, adição quando for fácil eliminar uma variável e sempre confira a resposta nas equações originais.
