Estas atividades sobre números complexos com gabarito ajudam a revisar a forma algébrica, as operações, o módulo, a representação no plano e as potências de i. O tema costuma aparecer no ensino médio e em vestibulares porque amplia o conjunto dos números reais e permite resolver situações, como a equação x² + 1 = 0, que não possui solução real.
Antes de consultar as respostas, tente resolver cada item no caderno. Registrar os passos é importante: em números complexos, muitos erros vêm de trocar sinais, esquecer que i² = −1 ou comparar incorretamente a parte real e a parte imaginária.
Entenda os números complexos
Um número complexo é escrito, em sua forma algébrica, como z = a + bi. Nessa expressão, a e b são números reais, e i é a unidade imaginária, definida pela relação i² = −1. O termo a é chamado de parte real de z, indicado por Re(z), enquanto b é a parte imaginária, indicada por Im(z).
Por exemplo, no complexo z = 3 − 4i, temos Re(z) = 3 e Im(z) = −4. Já o número −5 pode ser escrito como −5 + 0i; portanto, todo número real também é um número complexo. Em contrapartida, 7i tem parte real igual a zero e parte imaginária igual a 7.
Dois complexos são iguais apenas quando suas partes correspondentes são iguais. Assim, a + bi = c + di se, e somente se, a = c e b = d. Essa regra é especialmente útil em equações: depois de desenvolver uma expressão, separe os termos reais dos termos que contêm i.
Ideia central: não é correto tratar i como uma incógnita comum. Ela é um número definido por i² = −1. Por isso, sempre que surgir i² em um cálculo, substitua-o por −1.
Regras essenciais para resolver
A adição e a subtração de complexos seguem uma lógica semelhante à reunião de termos algébricos: partes reais são calculadas com partes reais, e partes imaginárias com partes imaginárias. Na multiplicação, aplica-se a propriedade distributiva e, ao final, usa-se i² = −1.
| Operação | Regra | Exemplo |
|---|---|---|
| Adição | (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i | (2 + 3i) + (−1 + 4i) = 1 + 7i |
| Subtração | (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i | (5 − 2i) − (1 + 3i) = 4 − 5i |
| Multiplicação | (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i | (1 + i)(2 − i) = 3 + i |
| Módulo | |a + bi| = √(a² + b²) | |3 − 4i| = 5 |
Na divisão, é preciso eliminar i do denominador. Para isso, multiplique numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de a + bi é a − bi. Por exemplo, para calcular 1/(1 + i), multiplica-se a fração por (1 − i)/(1 − i). O denominador passa a ser (1 + i)(1 − i) = 1 − i² = 2, e o resultado é (1 − i)/2.
- Organize cada resultado na forma a + bi.
- Escreva parênteses ao substituir números negativos.
- Reduza as potências de i antes de concluir uma conta longa.
- Em uma igualdade entre complexos, iguale separadamente as partes real e imaginária.
Atividades de operações
Resolva as atividades a seguir sem olhar o gabarito. Nas questões de multiplicação, desenvolva todos os produtos antes de substituir i² por −1. Esse procedimento diminui a chance de perder termos.
- Determine a soma: (4 − 3i) + (−6 + 5i).
- Calcule: (7 + 2i) − (−1 − 4i).
- Efetue o produto: (3 + i)(2 − 4i).
- Calcule: (2 − 3i)².
- Determine o quociente (4 + 2i)/(1 − i), escrevendo o resultado na forma algébrica.
- Sabendo que (x + 2) + (3y − 1)i = 5 + 8i, determine x e y.
Estratégia para a questão de divisão
Na questão 5, o conjugado de 1 − i é 1 + i. Logo, multiplique os dois termos da fração por 1 + i. No denominador, aparecerá (1 − i)(1 + i), uma diferença de quadrados que vale 1 − i² = 2. No numerador, distribua os fatores e simplifique normalmente.
Na questão 6, não se deve tentar “cancelar” o i. Como dois complexos iguais têm partes correspondentes iguais, monte o sistema x + 2 = 5 e 3y − 1 = 8. Essa comparação é um procedimento geral para encontrar incógnitas em expressões complexas.
Atividades de módulo e plano
O plano de Argand-Gauss permite visualizar um complexo como um ponto. No plano, o eixo horizontal representa a parte real e o eixo vertical representa a parte imaginária. Assim, z = a + bi corresponde ao ponto (a, b). O módulo |z| é a distância desse ponto até a origem.
- Determine o módulo de z = −6 + 8i.
- Represente no plano de Argand-Gauss os números z₁ = 2 − 3i e z₂ = −4 + i, indicando em que quadrantes estão seus afixos.
- Se z = a + bi, com a = 5 e b = −12, calcule |z|.
- Encontre os valores reais de x para que o módulo de z = x + 4i seja igual a 5.
- Os complexos 3 + 4i e −3 − 4i possuem o mesmo módulo? Justifique.
Na questão 4, aplique a fórmula do módulo: √(x² + 4²) = 5. Como ambos os lados são não negativos, é possível elevar a igualdade ao quadrado e obter x² + 16 = 25. Atenção: uma equação do tipo x² = 9 possui duas soluções reais, x = 3 e x = −3.
Atividades com potências de i
As potências de i formam um ciclo de quatro resultados. Depois de i⁴, os valores se repetem, pois i⁴ = (i²)² = 1. Para calcular uma potência alta, divida o expoente por 4 e observe o resto da divisão.
| Expoente com resto na divisão por 4 | Resultado |
|---|---|
| Resto 0 | iⁿ = 1 |
| Resto 1 | iⁿ = i |
| Resto 2 | iⁿ = −1 |
| Resto 3 | iⁿ = −i |
- Calcule i¹⁵.
- Calcule i²⁶.
- Simplifique i³⁷ + i⁴².
- Determine o valor de i¹⁰⁰ − i⁹⁹.
- Calcule (1 + i)⁴.
Para a última questão, uma alternativa é calcular primeiro (1 + i)². O resultado é 1 + 2i + i² = 2i. Portanto, (1 + i)⁴ = [(1 + i)²]² = (2i)². Esse tipo de agrupamento torna a conta mais curta e evidencia o uso da definição de i.
Atividades de equações
Os números complexos também permitem resolver equações polinomiais que não têm raízes reais. Se x² = −9, por exemplo, então x = ±3i, porque (3i)² = 9i² = −9. O símbolo ± indica duas soluções: uma positiva e outra negativa.
- Resolva, no conjunto dos complexos: x² + 16 = 0.
- Resolva: x² − 2x + 5 = 0.
- Determine as raízes de x² + 4x + 13 = 0.
- Encontre z sabendo que z + (2 − 5i) = −1 + 3i.
Nas questões 2 e 3, pode-se usar a fórmula de Bhaskara. Quando o discriminante Δ é negativo, sua raiz é imaginária. Por exemplo, se Δ = −16, então √Δ = √(−16) = 4i. A fórmula continua válida, mas as soluções passam a ter parte imaginária diferente de zero.
Ao usar Bhaskara com números complexos, mantenha os parênteses no numerador: x = (−b ± √Δ)/(2a). Isso evita que apenas uma parcela seja dividida pelo denominador.
Gabarito e pontos de revisão
Confira os resultados depois de tentar as questões. Se algum item estiver diferente, retome o passo em que ocorreu a distribuição, a troca de sinal ou a redução de i².
Respostas das operações
- −2 + 2i.
- 8 + 6i.
- 10 − 10i.
- −5 − 12i.
- 1 + 3i.
- x = 3 e y = 3.
Respostas de módulo e plano
- |z| = 10.
- z₁ corresponde a (2, −3), no quarto quadrante; z₂ corresponde a (−4, 1), no segundo quadrante.
- |z| = 13.
- x = 3 ou x = −3.
- Sim. Ambos têm módulo 5, pois √(3² + 4²) = √[(-3)² + (−4)²] = 5.
Respostas de potências e equações
- i¹⁵ = −i.
- i²⁶ = −1.
- i³⁷ + i⁴² = i − 1.
- i¹⁰⁰ − i⁹⁹ = 1 + i.
- (1 + i)⁴ = −4.
- x² + 16 = 0: x = 4i ou x = −4i.
- x² − 2x + 5 = 0: x = 1 + 2i ou x = 1 − 2i.
- x² + 4x + 13 = 0: x = −2 + 3i ou x = −2 − 3i.
- z = −3 + 8i.
Para revisar: memorize o ciclo de i, associe a + bi ao ponto (a, b), use o conjugado nas divisões e compare partes real e imaginária em igualdades. Com essas quatro ideias, é possível resolver a maior parte das atividades introdutórias sobre números complexos.
