Os sistemas de equações do 1 grau exercícios ajudam a treinar a descoberta de valores que satisfazem duas ou mais equações ao mesmo tempo. Em geral, nas questões escolares, o objetivo é encontrar os valores de duas incógnitas, como x e y, usando métodos algébricos ou a interpretação de uma situação-problema.
Esse conteúdo aparece quando duas informações dependem dos mesmos valores: quantidade e preço, idade de pessoas, número de objetos ou medidas geométricas. Mais importante do que decorar procedimentos é entender que a resposta só será válida se funcionar em todas as equações do sistema.
O que são sistemas de equações do 1º grau
Um sistema de equações do 1º grau, também chamado de sistema linear, reúne duas ou mais equações que possuem as mesmas incógnitas. Em um sistema de duas equações e duas incógnitas, a forma mais comum é:
ax + by = c
dx + ey = f
Nessas expressões, a, b, c, d, e e f são números conhecidos, enquanto x e y são os valores que se deseja determinar. Dizemos que a equação é de primeiro grau porque as incógnitas não aparecem elevadas ao quadrado, em raízes ou multiplicadas entre si. Assim, x + y = 8 é uma equação de primeiro grau; já x² + y = 8 não é.
Veja um exemplo simples:
x + y = 10
x − y = 2
O par ordenado x = 6 e y = 4 resolve o sistema. De fato, 6 + 4 é igual a 10 e 6 − 4 é igual a 2. Portanto, não basta um valor servir para apenas uma linha: os dois valores devem atender às duas condições simultaneamente.
Como identificar a solução de um sistema
Graficamente, cada equação de primeiro grau com duas incógnitas representa uma reta no plano cartesiano. A quantidade de soluções depende da posição relativa dessas retas. Esse raciocínio também pode ser percebido pelos cálculos algébricos.
| Tipo de sistema | Interpretação gráfica | Quantidade de soluções |
|---|---|---|
| Possível e determinado | As retas se cruzam em um ponto. | Uma solução. |
| Possível e indeterminado | As retas coincidem. | Infinitas soluções. |
| Impossível | As retas são paralelas distintas. | Nenhuma solução. |
Por exemplo, as equações x + y = 5 e 2x + 2y = 10 representam a mesma relação, pois a segunda resulta da multiplicação da primeira por 2. Logo, qualquer par que satisfaça a primeira também satisfaz a segunda: há infinitas soluções.
Já x + y = 5 e 2x + 2y = 12 não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo. Se a primeira fosse multiplicada por 2, o resultado deveria ser 2x + 2y = 10, e não 12. Nesse caso, o sistema é impossível.
Métodos de resolução
Os métodos mais usados em exercícios são a substituição e a adição, também chamada de eliminação. A escolha depende de como as equações foram apresentadas. Em ambos os casos, a etapa final é substituir os valores encontrados nas equações originais para verificar a resposta.
Método da substituição
Esse método é prático quando uma das incógnitas já está isolada ou pode ser isolada facilmente. Considere o sistema:
y = 2x + 1
x + y = 10
Como y já está expresso em função de x, substituímos 2x + 1 no lugar de y na segunda equação: x + 2x + 1 = 10. Então, 3x = 9 e x = 3. Em seguida, y = 2 · 3 + 1, portanto y = 7. A solução é (3, 7).
Método da adição ou eliminação
Na adição, procura-se eliminar uma incógnita ao somar ou subtrair as equações. Veja:
2x + y = 11
−2x + 3y = 5
Somando membro a membro, os termos 2x e −2x se anulam. Obtém-se 4y = 16, logo y = 4. Substituindo esse valor na primeira equação, 2x + 4 = 11; assim, 2x = 7 e x = 3,5. A solução é (3,5; 4).
Quando os coeficientes não são opostos, pode ser necessário multiplicar uma ou ambas as equações antes de somá-las. O procedimento deve preservar a igualdade: todos os termos de uma equação precisam ser multiplicados pelo mesmo número.
Exercícios resolvidos passo a passo
Nos exemplos a seguir, observe a organização dos cálculos. Escrever cada transformação em uma linha reduz a chance de trocar sinais ou de perder termos.
Exercício 1
Resolva o sistema x + y = 13 e x − y = 5.
Vamos usar a adição. Ao somar as duas equações, y e −y se anulam: 2x = 18. Portanto, x = 9. Agora, substituindo em x + y = 13, temos 9 + y = 13, então y = 4. A resposta é x = 9 e y = 4.
Exercício 2
Resolva o sistema 3x + y = 17 e y = x + 1.
Como y já está isolado, aplicamos a substituição na primeira equação: 3x + (x + 1) = 17. Assim, 4x + 1 = 17, 4x = 16 e x = 4. Depois, y = 4 + 1 = 5. Logo, a solução é (4, 5).
Exercício 3
Resolva o sistema 2x + 3y = 19 e x − y = 2.
Primeiro, isolamos x na segunda equação: x = y + 2. Substituímos esse resultado na primeira: 2(y + 2) + 3y = 19. Desenvolvendo os parênteses, 2y + 4 + 3y = 19. Então, 5y = 15 e y = 3. Como x = y + 2, x = 5. A solução é (5, 3).
Exercício 4
Resolva o sistema 4x + 2y = 18 e 3x − 2y = 3.
A adição é conveniente porque os coeficientes de y já são opostos. Somando as equações, 7x = 21; logo, x = 3. Na primeira equação, 4 · 3 + 2y = 18. Portanto, 12 + 2y = 18, 2y = 6 e y = 3. A solução é (3, 3).
- Após encontrar x e y, teste o par na primeira equação.
- Teste o mesmo par na segunda equação.
- Se houver fração ou número decimal, não descarte a resposta: soluções inteiras não são obrigatórias.
Problemas do cotidiano com sistemas
Em problemas escritos, o desafio principal costuma ser transformar o enunciado em equações. É útil definir claramente o que representa cada incógnita antes de fazer contas.
Considere a situação: em uma papelaria, 2 cadernos e 1 caneta custam 19 reais; 1 caderno e 2 canetas custam 14 reais. Qual é o preço de cada item?
Se x representa o preço do caderno e y o preço da caneta, o sistema é 2x + y = 19 e x + 2y = 14. Podemos multiplicar a segunda equação por −2: −2x − 4y = −28. Somando à primeira, obtemos −3y = −9, portanto y = 3. Substituindo em x + 2y = 14, resulta x + 6 = 14, então x = 8. Um caderno custa 8 reais e uma caneta custa 3 reais.
Outro modelo frequente envolve quantidades. Uma turma tem 28 estudantes entre meninas e meninos. Se há 4 meninas a mais que meninos, quantos estudantes há em cada grupo? Definindo m como o número de meninas e h como o número de meninos, temos m + h = 28 e m − h = 4. Somando as equações, 2m = 32, logo m = 16. Assim, h = 12.
Antes de calcular, confirme se cada frase do enunciado foi traduzida corretamente. Expressões como “ao todo”, “a mais” e “a menos” costumam indicar, respectivamente, soma e diferença.
Erros comuns e estratégias de conferência
Um erro recorrente é mudar o sinal de apenas um termo ao multiplicar uma equação por um número negativo. Se a equação é x − 2y = 6 e ela será multiplicada por −1, o resultado correto é −x + 2y = −6. Todos os termos devem mudar.
Também é comum somar equações sem alinhar termos semelhantes. Organize x abaixo de x, y abaixo de y e os números no outro lado da igualdade. Essa disposição deixa evidente quais termos serão eliminados.
Na substituição, use parênteses quando uma expressão inteira ocupar o lugar de uma incógnita. Por exemplo, se y = 3 − x e a equação contém 2y, escreva 2(3 − x). Sem os parênteses, é fácil aplicar a multiplicação de modo incorreto.
Por fim, faça a conferência. Se a resposta encontrada for x = 5 e y = 3 no sistema 2x + 3y = 19 e x − y = 2, temos 2 · 5 + 3 · 3 = 19 e 5 − 3 = 2. Como as duas igualdades são verdadeiras, a solução está confirmada.
Pontos de revisão
Resolver sistemas de equações do 1º grau significa encontrar valores comuns às equações apresentadas. O método da substituição é indicado quando uma incógnita pode ser isolada com facilidade; o método da adição é eficiente quando os coeficientes podem ser anulados por soma ou subtração.
- Defina as incógnitas, especialmente nos problemas escritos.
- Monte as duas equações com atenção ao significado do enunciado.
- Escolha substituição ou adição conforme os coeficientes.
- Resolva uma incógnita, encontre a outra e mantenha os cálculos organizados.
- Verifique o par obtido nas equações originais.
Com prática, a escolha do método se torna mais rápida. Ainda assim, a conferência final deve fazer parte de todo exercício, pois ela mostra se o par encontrado realmente resolve o sistema.
