Questões de função afim pedem, em geral, que o estudante reconheça a expressão da função, interprete seus coeficientes ou calcule valores em situações apresentadas por texto, tabela e gráfico. Para resolvê-las com segurança, é importante relacionar a fórmula f(x) = ax + b ao significado de cada letra e conferir se o resultado é coerente com o enunciado.
A função afim também é chamada de função polinomial do primeiro grau. Ela descreve relações em que uma grandeza varia de maneira constante em relação a outra. Tarifas com valor fixo mais cobrança por uso, conversões de temperatura e previsão de custos são exemplos frequentes em exercícios escolares, vestibulares e no ENEM.
O que observar em questões de função afim
Uma função afim tem a forma f(x) = ax + b, em que a e b são números reais e a é diferente de zero. A letra x representa a variável independente, isto é, a entrada da função. Já f(x), muitas vezes indicada por y, é a variável dependente, pois seu valor depende daquele que foi escolhido para x.
Antes de fazer contas, leia o que cada variável representa. Se x é a quantidade de quilômetros percorridos, por exemplo, f(x) pode ser o custo de uma corrida. Essa interpretação ajuda a usar as unidades corretamente e evita respostas sem sentido, como obter uma distância negativa quando o contexto não permite isso.
Os comandos mais comuns em uma questão são:
- calcular a imagem de um número, isto é, encontrar f(x);
- determinar o valor de x para uma imagem conhecida;
- identificar os coeficientes a e b em uma expressão;
- montar a função a partir de dados do enunciado;
- analisar se a função é crescente ou decrescente;
- encontrar os pontos em que o gráfico corta os eixos.
Quando a expressão apresenta apenas um termo com x e um termo constante, como y = 3x - 5, trata-se de uma função afim. Em contraste, y = x² + 1 é uma função quadrática, pois possui x elevado ao quadrado. Fazer essa identificação é o primeiro passo para selecionar o procedimento adequado.
Como interpretar os coeficientes a e b
O coeficiente a é chamado de coeficiente angular. Ele informa a taxa de variação da função: quanto f(x) muda quando x aumenta uma unidade. Se a = 4, por exemplo, a imagem aumenta 4 unidades a cada acréscimo de 1 unidade em x. Se a = -2, a imagem diminui 2 unidades nesse mesmo intervalo.
O coeficiente b é o coeficiente linear. Ele corresponde ao valor de f(0), pois, substituindo x por zero em f(x) = ax + b, obtém-se f(0) = b. No gráfico, portanto, b indica o ponto em que a reta intercepta o eixo y.
| Valor de a | Comportamento da função | Leitura no gráfico |
|---|---|---|
| a > 0 | Crescente | A reta sobe da esquerda para a direita. |
| a < 0 | Decrescente | A reta desce da esquerda para a direita. |
| a = 0 | Função constante | Não é função afim na definição escolar usual, pois não há termo de primeiro grau. |
Considere C(x) = 2,50x + 8. Se x é a quantidade de unidades compradas e C(x) é o preço total, o número 8 representa uma cobrança inicial fixa. O número 2,50 representa o acréscimo no preço para cada unidade adicional. Questões contextualizadas costumam avaliar justamente essa distinção entre parcela fixa e parcela variável.
Regra prática: em f(x) = ax + b, o número que acompanha x é a taxa de variação; o termo sem x é o valor inicial. Não troque essas interpretações.
Como encontrar a lei de formação
Em muitas questões, a função não é entregue pronta. Nesse caso, é necessário determinar a e b usando informações fornecidas. Se o valor inicial é conhecido, ele já corresponde a b. Depois, basta identificar quanto a grandeza dependente varia para cada unidade da grandeza independente, obtendo a.
Quando são dados dois pontos da reta, (x₁, y₁) e (x₂, y₂), o coeficiente angular pode ser calculado por:
a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).
Em seguida, substitua as coordenadas de um dos pontos em y = ax + b para encontrar b. Esse método também funciona quando os dados aparecem em uma tabela. É essencial usar pares correspondentes: o valor de x de uma linha deve ser associado ao valor de y da mesma linha.
Exemplo de montagem
Uma locadora cobra R$ 15,00 pela retirada de um equipamento e mais R$ 6,00 por dia de aluguel. Chamando de d o número de dias e de P(d) o preço total, a função é P(d) = 6d + 15. O termo 15 é cobrado mesmo que o equipamento seja devolvido no mesmo dia, enquanto 6d varia com a duração do aluguel.
Se o problema informa que uma reta passa por (2, 7) e (5, 16), então a = (16 - 7) / (5 - 2) = 9/3 = 3. Usando o ponto (2, 7), temos 7 = 3 · 2 + b. Logo, b = 1, e a lei é y = 3x + 1.
Gráficos e tabelas nas questões
O gráfico de uma função afim é uma reta. Para construí-lo, dois pontos distintos são suficientes, pois existe uma única reta que passa por dois pontos. Uma forma prática é calcular f(0), encontrando a interseção com o eixo y, e calcular mais uma imagem, como f(1) ou f(2).
O ponto onde a reta corta o eixo x recebe o nome de zero da função ou raiz. Nesse ponto, y vale zero. Para encontrá-lo em f(x) = ax + b, resolvemos ax + b = 0, chegando a x = -b/a. Por exemplo, na função f(x) = 2x - 8, o zero é x = 4, pois f(4) = 0.
Em uma tabela, diferenças iguais entre valores consecutivos de y, quando x cresce de uma em uma unidade, indicam uma possível função afim. Se x aumenta sempre 1 e y aumenta sempre 5, o coeficiente angular é 5. Caso os intervalos de x sejam diferentes, é preciso dividir a variação de y pela variação de x, em vez de comparar apenas os valores absolutos.
Um gráfico não deve ser interpretado somente pela aparência. Leia escala, unidades nos eixos, valores destacados e sentido de crescimento antes de concluir qual função está representada.
Exercícios de função afim comentados
1. Cálculo de imagem
Se f(x) = -3x + 10, determine f(4).
Substituindo x por 4: f(4) = -3 · 4 + 10 = -12 + 10 = -2. O sinal negativo deve acompanhar o produto inteiro; escrever -3 · 4 como 12 seria um erro de sinais.
2. Situação-problema
Um serviço de entrega cobra R$ 7,00 de taxa fixa e R$ 1,80 por quilômetro percorrido. Qual é o preço de uma entrega de 12 km?
A função é P(x) = 1,80x + 7. Assim, P(12) = 1,80 · 12 + 7 = 21,60 + 7 = 28,60. Portanto, o preço é R$ 28,60. A taxa fixa não pode ser esquecida, porque ela está presente independentemente da distância.
3. Determinação da função
Uma tabela informa que, para x = 1, y = 9, e, para x = 4, y = 18. Determine a função afim.
Primeiro, a = (18 - 9) / (4 - 1) = 3. Então y = 3x + b. Usando o par (1, 9), obtemos 9 = 3 + b, logo b = 6. A função é y = 3x + 6. Uma verificação útil é substituir x = 4: 3 · 4 + 6 = 18.
4. Zero da função
Em quais valores de x a função g(x) = 5x + 20 é igual a zero?
Resolvemos 5x + 20 = 0. Assim, 5x = -20 e x = -4. O resultado indica que a reta cruza o eixo x no ponto (-4, 0).
Erros comuns e estratégias de resolução
Um erro frequente é confundir f(x) com o produto f · x. A notação f(x) significa “valor da função f no ponto x”; não representa uma multiplicação. Outro equívoco é considerar que b sempre é positivo: ele pode ser negativo, nulo ou positivo, conforme a posição em que a reta intercepta o eixo y.
Também é comum inverter as coordenadas de um ponto. Na escrita (x, y), o primeiro número está associado ao eixo horizontal e o segundo ao vertical. Ao usar dois pontos para calcular a, mantenha a mesma ordem nas subtrações: se usar y₂ - y₁ no numerador, use x₂ - x₁ no denominador.
- Defina o que x e f(x) representam no enunciado.
- Escreva a fórmula ou monte a relação entre as grandezas.
- Substitua os dados com atenção aos parênteses e aos sinais.
- Faça o cálculo passo a passo.
- Verifique se a unidade e o sentido do resultado são compatíveis com a situação.
Em problemas com dinheiro, mantenha as casas decimais até o fim do cálculo. Em gráficos, não suponha que cada quadrícula vale 1: observe a escala indicada. Essas verificações simples aumentam a precisão da resposta.
Pontos de revisão
A função afim é escrita como f(x) = ax + b, com a diferente de zero. O coeficiente a determina a inclinação e o crescimento ou decrescimento da reta; o coeficiente b mostra o valor inicial e a interseção com o eixo y. O zero da função é encontrado ao igualar f(x) a zero.
Para resolver questões, identifique as variáveis, separe taxa variável de valor fixo e use pares de valores correspondentes ao montar a lei de formação. Por fim, substitua o resultado na expressão ou nos dados originais sempre que possível. Essa conferência permite detectar trocas de sinal, erros aritméticos e interpretações inadequadas do contexto.
