Progressões geométricas e aritméticas são sequências de números cujos termos seguem uma regra de formação constante. Na progressão aritmética, acrescenta-se ou subtrai-se sempre o mesmo valor; na geométrica, cada termo é obtido pela multiplicação por uma constante. Esses conteúdos permitem descrever padrões, calcular valores distantes de uma sequência e resolver situações frequentes em provas escolares, vestibulares e ENEM.
O que são progressões numéricas?
Uma sequência numérica é uma lista ordenada de números: a₁, a₂, a₃, ..., aₙ. Cada elemento é chamado de termo, e sua posição é indicada por um índice. Assim, a₁ é o primeiro termo, a₂ é o segundo e aₙ representa um termo qualquer na posição n.
Nem toda sequência é uma progressão. Para receber esse nome, ela deve obedecer a uma regra repetida de modo regular. Nas duas progressões mais estudadas, a relação entre termos consecutivos é fixa: na PA, calcula-se uma diferença; na PG, calcula-se uma divisão, desde que o termo anterior não seja zero.
Observe as sequências abaixo:
- 2, 5, 8, 11, 14, ...: os termos aumentam de 3 em 3; é uma PA.
- 3, 6, 12, 24, 48, ...: os termos são multiplicados por 2; é uma PG.
- 1, 4, 9, 16, 25, ...: os termos são quadrados perfeitos, mas as diferenças não são constantes; não é PA nem PG.
Antes de aplicar qualquer fórmula, é essencial identificar o padrão. Esse cuidado evita, por exemplo, usar a fórmula de soma de uma PA em um problema de crescimento multiplicativo.
Progressão aritmética: PA
Uma progressão aritmética, ou PA, é uma sequência em que a diferença entre cada termo e o anterior é sempre a mesma. Essa constante recebe o nome de razão e é representada pela letra r.
Na sequência 10, 7, 4, 1, ..., a razão é r = −3, pois 7 − 10 = −3, 4 − 7 = −3 e assim sucessivamente. A razão pode ser positiva, negativa ou igual a zero. Se r for positiva, a PA será crescente; se for negativa, será decrescente; se r for zero, todos os termos serão iguais.
Termo geral da PA
Conhecendo o primeiro termo a₁ e a razão r, encontra-se qualquer termo da PA por meio da expressão: aₙ = a₁ + (n − 1)r. O fator n − 1 aparece porque, do primeiro termo até o termo de posição n, ocorrem n − 1 intervalos de razão.
Por exemplo, na PA 4, 9, 14, 19, ..., temos a₁ = 4 e r = 5. Para calcular o décimo termo: a₁₀ = 4 + (10 − 1)5 = 4 + 45 = 49. Não é necessário escrever todos os termos anteriores.
Em uma PA, a razão é encontrada por r = a₂ − a₁. Se o enunciado fornecer dois termos não consecutivos, como a₃ e a₉, use a fórmula do termo geral para montar uma equação.
Outra propriedade útil é a do termo médio: em uma PA, cada termo interno é a média aritmética dos termos vizinhos. Por exemplo, em 8, 12, 16, o número 12 é igual a (8 + 16) ÷ 2. Essa ideia ajuda a encontrar termos desconhecidos em sequências e problemas de divisão proporcional.
Progressão geométrica: PG
Uma progressão geométrica, ou PG, é uma sequência em que o quociente entre um termo e seu antecessor é constante. Essa constante também é chamada de razão, mas é usualmente indicada por q. Para gerar um novo termo, multiplica-se o anterior por q.
Na PG 5, 15, 45, 135, ..., a razão é q = 3. Já em 81, 27, 9, 3, ..., a razão é q = 1/3. A PG será crescente quando os valores positivos forem multiplicados por q maior que 1; será decrescente quando 0 < q < 1. Razões negativas alternam os sinais dos termos, como em 2, −4, 8, −16, ...
Termo geral da PG
A fórmula do termo geral é aₙ = a₁ · q^(n − 1). Ela mostra que a posição do termo determina o expoente da razão. Em uma PG cujo primeiro termo é 2 e cuja razão é 3, o sexto termo vale a₆ = 2 · 3^5 = 2 · 243 = 486.
O crescimento de uma PG pode ser muito rápido quando q é maior que 1. Por isso, ela é adequada para representar duplicações, juros compostos em condições simplificadas, reprodução de organismos em modelos teóricos e escalas que aumentam multiplicativamente. É importante lembrar que os modelos matemáticos dependem das condições descritas no problema: fenômenos reais podem ter limites que a fórmula não considera.
Diferenças entre PA e PG
Embora ambas sejam sequências ordenadas e usem o termo razão, PA e PG têm mecanismos diferentes. A identificação correta depende de verificar se há uma diferença constante ou uma multiplicação constante entre termos consecutivos.
| Característica | PA | PG |
|---|---|---|
| Regra de formação | Soma-se uma razão r | Multiplica-se por uma razão q |
| Exemplo | 2, 6, 10, 14, ... | 2, 6, 18, 54, ... |
| Termo geral | aₙ = a₁ + (n − 1)r | aₙ = a₁ · q^(n − 1) |
| Tipo de variação | Linear, por acréscimos iguais | Exponencial, por fatores iguais |
| Teste principal | Subtrair termos consecutivos | Dividir termos consecutivos |
Compare 100, 90, 80, 70, ... com 100, 50, 25, 12,5, .... Na primeira, há redução de 10 unidades por etapa, logo existe uma PA de razão −10. Na segunda, cada valor corresponde à metade do anterior, portanto há uma PG de razão 1/2. Dizer apenas que “os números diminuem” não é suficiente para classificar a sequência.
Soma dos termos de uma progressão
Em muitos exercícios, pede-se a soma dos primeiros termos, e não apenas um termo isolado. A soma dos n primeiros termos é indicada por Sₙ.
Soma dos termos de uma PA
Na PA, a fórmula é Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2. Também pode ser escrita como Sₙ = n[2a₁ + (n − 1)r] ÷ 2, quando o último termo ainda não é conhecido. A lógica da fórmula está no agrupamento de termos equidistantes: o primeiro e o último têm a mesma soma que o segundo e o penúltimo.
Considere a soma 1 + 2 + 3 + ... + 50. Trata-se de uma PA com n = 50, a₁ = 1 e a₅₀ = 50. Assim, S₅₀ = 50(1 + 50) ÷ 2 = 1.275.
Soma dos termos de uma PG
Para uma PG finita com q diferente de 1, usa-se Sₙ = a₁(qⁿ − 1) ÷ (q − 1). Uma forma equivalente é Sₙ = a₁(1 − qⁿ) ÷ (1 − q). As duas produzem o mesmo resultado; escolha a que facilite os sinais e os cálculos.
Na PG 1, 2, 4, 8, 16, a razão é 2 e há cinco termos. Logo, S₅ = 1(2^5 − 1) ÷ (2 − 1) = 31. Caso q seja igual a 1, todos os termos serão a₁, e a soma será simplesmente Sₙ = n · a₁.
Aplicações e resolução de problemas
Questões contextualizadas podem apresentar PA e PG sem usar esses nomes. Um valor que aumenta sempre pela mesma quantidade sugere PA; um valor que aumenta ou diminui em uma mesma porcentagem, em etapas sucessivas, costuma indicar PG. Por exemplo, uma economia que recebe depósitos mensais fixos pode ser modelada por uma PA em uma simplificação sem rendimentos, enquanto um capital que rende uma taxa fixa por período segue uma lógica geométrica.
Para resolver com organização, siga esta sequência:
- Liste os dados fornecidos e determine o que cada número representa.
- Classifique a sequência verificando diferenças ou quocientes entre termos.
- Identifique a₁, r ou q e a posição n solicitada.
- Escolha entre a fórmula do termo geral e a fórmula de soma.
- Substitua os valores com atenção aos parênteses, ao sinal da razão e aos expoentes.
- Verifique se a resposta faz sentido no contexto e na unidade pedida.
Um erro comum é confundir o número de termos com o valor do último termo. Em uma sequência de parcelas mensais, por exemplo, o décimo segundo mês corresponde a n = 12, mesmo que a parcela tenha valor numérico inteiramente diferente. Também é frequente usar n no lugar de n − 1 no termo geral; retomar a ideia de intervalos ajuda a evitar esse engano.
Uma PA descreve variação por adição repetida; uma PG descreve variação por multiplicação repetida. Reconhecer essa diferença é mais importante do que memorizar fórmulas isoladas.
Síntese para revisão
Progressões são ferramentas para estudar regularidades numéricas. Na PA, a razão r é a diferença constante e o termo geral é aₙ = a₁ + (n − 1)r. Na PG, a razão q é o fator multiplicativo constante e o termo geral é aₙ = a₁ · q^(n − 1).
- Use subtração entre termos consecutivos para testar uma PA.
- Use divisão entre termos consecutivos, quando possível, para testar uma PG.
- Na PA, Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2.
- Na PG finita, com q diferente de 1, Sₙ = a₁(qⁿ − 1) ÷ (q − 1).
- Leia o contexto para distinguir crescimento por quantidade fixa de crescimento por percentual ou fator fixo.
Em exercícios, registre a fórmula antes de substituir os números e mantenha claras as posições dos termos. Essa prática torna a resolução mais verificável e reduz erros de interpretação e de cálculo.
