Os exercícios de função composta pedem que você aplique uma função ao resultado de outra. Para resolvê-los, identifique qual função atua primeiro, substitua a expressão correta e respeite as restrições de domínio. Embora a notação pareça abstrata no início, o procedimento é organizado: calcule a função interna e, depois, a externa.
Esse tema aparece no ensino médio e em questões de vestibulares porque relaciona álgebra, leitura de símbolos e domínio de funções. Dominar a composição ajuda também a compreender transformações de gráficos e situações em que uma quantidade passa por duas etapas de cálculo.
O que é composição de funções
Considere duas funções: f e g. A composição de f com g é indicada por (f ∘ g)(x), que se lê “f composta com g de x”. Por definição, temos (f ∘ g)(x) = f(g(x)). Isso significa que primeiro se calcula g(x); em seguida, o resultado obtido é usado como entrada de f.
Não confunda o símbolo ∘ com uma multiplicação. Em f(g(x)), não estamos calculando f vezes g. Estamos dizendo que a saída de g será colocada no lugar da variável de f.
Regra central: em (f ∘ g)(x), a função mais próxima de x, isto é, g, é aplicada primeiro. Depois vem f.
Por exemplo, se f(x) = 2x + 1 e g(x) = x², então (f ∘ g)(x) = f(g(x)). Como g(x) = x², substituímos o x da fórmula de f por x²: f(x²) = 2x² + 1. Logo, (f ∘ g)(x) = 2x² + 1.
É útil interpretar as funções como máquinas. A máquina g recebe x e produz g(x). A máquina f recebe esse resultado e produz f(g(x)). A composição representa o encadeamento dessas duas máquinas.
Como calcular uma função composta
O método é sempre baseado em substituição. Antes de desenvolver contas, escreva a composição solicitada e observe sua ordem. Se a questão pede (g ∘ f)(x), é f que atua primeiro, pois ela está dentro dos parênteses na expressão g(f(x)).
- Escreva a composição na forma f(g(x)) ou g(f(x)).
- Calcule ou copie a expressão da função interna.
- Substitua essa expressão em todos os lugares onde aparece x na função externa.
- Simplifique com atenção às operações, aos parênteses e às potências.
- Verifique se existem valores proibidos pelas funções envolvidas.
Suponha que p(x) = 3x − 4 e q(x) = x + 5. Para encontrar (p ∘ q)(x), escrevemos p(q(x)) = p(x + 5). Na fórmula p(x) = 3x − 4, trocamos x por x + 5: 3(x + 5) − 4 = 3x + 15 − 4 = 3x + 11.
Os parênteses são indispensáveis. Se a função externa tiver uma potência, como f(x) = x², e a interna for g(x) = x − 3, então f(g(x)) = (x − 3)². Não é correto escrever x² − 9, pois o quadrado de uma diferença deve ser desenvolvido como x² − 6x + 9.
Exercícios resolvidos passo a passo
Exercício 1: composição entre funções afins
Se f(x) = 4x + 2 e g(x) = 1 − x, determine (f ∘ g)(x).
Como a composição é f(g(x)), aplicamos g primeiro: g(x) = 1 − x. Agora substituímos x por 1 − x em f: f(1 − x) = 4(1 − x) + 2 = 4 − 4x + 2 = 6 − 4x. Portanto, (f ∘ g)(x) = 6 − 4x.
Exercício 2: composição com função quadrática
Considere f(x) = x² + 1 e g(x) = 2x − 3. Calcule (f ∘ g)(x).
Temos f(g(x)) = f(2x − 3). Como f eleva sua entrada ao quadrado e soma 1, obtemos (2x − 3)² + 1. Desenvolvendo o quadrado: 4x² − 12x + 9 + 1 = 4x² − 12x + 10. Assim, (f ∘ g)(x) = 4x² − 12x + 10.
Exercício 3: cálculo em um valor específico
Se f(x) = x + 7 e g(x) = 3x, determine (g ∘ f)(2).
Primeiro, f(2) = 2 + 7 = 9. Depois, aplicamos g ao resultado: g(9) = 3 · 9 = 27. Logo, (g ∘ f)(2) = 27. Também seria possível obter primeiro a expressão geral: g(f(x)) = g(x + 7) = 3(x + 7) = 3x + 21; ao substituir x = 2, o resultado é 27.
Exercício 4: composição com raiz
Se f(x) = √x e g(x) = x + 4, calcule (f ∘ g)(x) e indique uma condição para x.
Substituímos g(x) na expressão de f: f(g(x)) = √(x + 4). Para que a raiz quadrada seja real, o radicando deve ser maior ou igual a zero. Portanto, x + 4 ≥ 0, ou seja, x ≥ −4. A composição é √(x + 4), definida para x maior ou igual a −4.
| Composição solicitada | Ordem das etapas | Forma equivalente |
|---|---|---|
| (f ∘ g)(x) | Primeiro g, depois f | f(g(x)) |
| (g ∘ f)(x) | Primeiro f, depois g | g(f(x)) |
| (f ∘ g)(a) | Primeiro g(a), depois f | f(g(a)) |
Domínio da função composta
O domínio de uma composição não é, automaticamente, apenas a interseção dos domínios de f e g. Um número x precisa obedecer a duas condições: deve pertencer ao domínio de g e o valor g(x) deve pertencer ao domínio de f. Em outras palavras, a saída da função interna precisa ser uma entrada permitida para a função externa.
Considere f(x) = 1/x e g(x) = x − 2. Então (f ∘ g)(x) = 1/(x − 2). A função g está definida para todo real, mas f não aceita zero como entrada. Por isso, devemos exigir g(x) ≠ 0. Como x − 2 ≠ 0, temos x ≠ 2. Esse é o único valor excluído do domínio da composição.
Agora observe f(x) = √x e g(x) = 5 − x. A composição é √(5 − x). Como a entrada de f deve ser não negativa, 5 − x ≥ 0, e portanto x ≤ 5. Resolver esse tipo de desigualdade é parte essencial dos exercícios que envolvem raízes, denominadores e logaritmos.
A ordem da composição importa
Em geral, (f ∘ g)(x) é diferente de (g ∘ f)(x). Portanto, a composição de funções não é comutativa. A troca da ordem pode mudar a expressão final, o domínio e até o conjunto de valores obtidos.
Se f(x) = x + 2 e g(x) = x², então (f ∘ g)(x) = f(x²) = x² + 2. Já (g ∘ f)(x) = g(x + 2) = (x + 2)² = x² + 4x + 4. As expressões são diferentes, embora usem as mesmas duas funções.
Uma maneira segura de evitar a inversão é ler a notação da direita para a esquerda: em f ∘ g, o x entra primeiro em g e só depois em f. Essa leitura também ajuda quando há três funções, como (f ∘ g ∘ h)(x) = f(g(h(x))). Nesse caso, h atua primeiro, g atua em seguida e f finaliza o processo.
Erros comuns em exercícios
O erro mais frequente é trocar a ordem das funções. Para preveni-lo, reescreva a composição antes de calcular. Em vez de iniciar diretamente as contas, transforme (f ∘ g)(x) em f(g(x)); assim, a função interna fica visível.
Outro erro é substituir a expressão interna apenas em uma parte da função externa. Se f(x) = x² − 3x e g(x) = x + 1, a substituição correta é f(g(x)) = (x + 1)² − 3(x + 1). Todos os x de f devem ser trocados por x + 1.
- Não elimine parênteses antes de aplicar corretamente as operações.
- Não trate o símbolo de composição como produto entre funções.
- Não esqueça as restrições do denominador, da raiz ou do logaritmo.
- Não conclua que f ∘ g e g ∘ f são iguais sem fazer os cálculos.
- Ao calcular em um número, respeite as duas etapas indicadas pela composição.
Pontos de revisão
Para resolver uma questão de composição, lembre-se de que (f ∘ g)(x) = f(g(x)). A função interna é calculada primeiro, e seu resultado substitui a variável da função externa. Mantenha parênteses durante a substituição para não cometer erros de sinal, potência ou distribuição.
Além de encontrar a expressão algébrica, analise o domínio sempre que houver divisão, raiz ou outra restrição. Por fim, confira a ordem: composição não costuma ser comutativa. Com esse roteiro, os exercícios deixam de ser uma sequência confusa de letras e passam a ser uma aplicação organizada de substituições.
