Atividades sobre geometria analítica com gabarito

Atividades sobre geometria analítica com gabarito ajudam a praticar a relação entre álgebra e geometria no plano cartesiano. Nesse conteúdo, figuras geométricas são representadas por coordenadas e equações, permitindo calcular distâncias, localizar pontos, determinar retas e reconhecer circunferências. Antes de consultar as respostas, procure resolver cada questão registrando as fórmulas e os passos do cálculo.

Fundamentos da geometria analítica

A geometria analítica estuda elementos geométricos por meio de números, pares ordenados e expressões algébricas. Seu principal espaço de representação é o plano cartesiano, formado por dois eixos perpendiculares: o eixo horizontal, chamado de eixo x ou das abscissas, e o eixo vertical, chamado de eixo y ou das ordenadas.

Um ponto é indicado por um par ordenado, como A(3, -2). O primeiro número mostra o deslocamento horizontal em relação à origem O(0, 0), e o segundo mostra o deslocamento vertical. A ordem importa: A(3, -2) é diferente de B(-2, 3).

Os sinais das coordenadas definem o quadrante em que está o ponto. Essa identificação é especialmente útil em questões que pedem esboços ou análise da posição de figuras.

Os pontos localizados sobre um dos eixos não pertencem a quadrantes. Se y = 0, o ponto está no eixo x; se x = 0, está no eixo y. A origem pertence aos dois eixos.

Pontos, distância e ponto médio

Para encontrar a distância entre dois pontos A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), aplica-se uma consequência do teorema de Pitágoras:

A diferença entre as abscissas corresponde a um cateto de um triângulo retângulo imaginário, e a diferença entre as ordenadas corresponde ao outro. Por isso, os dois valores são elevados ao quadrado. Ao substituir números negativos, o uso de parênteses reduz erros de sinal.

Já o ponto médio M de um segmento com extremos A e B é obtido pela média das coordenadas correspondentes:

Esse resultado representa o ponto que divide o segmento em duas partes de mesmo comprimento. Não se deve somar uma coordenada x com uma coordenada y: abscissas são calculadas com abscissas, e ordenadas com ordenadas.

Retas no plano cartesiano

Uma reta pode ser escrita de várias maneiras. A forma reduzida é y = mx + n, em que m é o coeficiente angular e indica a inclinação da reta, enquanto n é o coeficiente linear, isto é, o valor de y quando x = 0.

Conhecendo dois pontos distintos A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), com x₁ diferente de x₂, o coeficiente angular é calculado por:

Depois de determinar m, pode-se usar a forma ponto-inclinação: y − y₁ = m(x − x₁). Ao desenvolver a expressão, chega-se à forma reduzida ou à forma geral ax + by + c = 0.

• Se m é positivo, a reta é crescente da esquerda para a direita.
• Se m é negativo, a reta é decrescente.
• Retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular.
• Retas perpendiculares, quando seus coeficientes existem, têm produto igual a -1.
• Uma reta vertical tem equação x = k e não possui coeficiente angular definido.

Circunferência e sua equação

Uma circunferência é o conjunto dos pontos que estão à mesma distância de um centro C(a, b). Essa distância constante é o raio r. Sua equação reduzida é:

É importante observar os sinais. Na expressão (x − 4)², a coordenada do centro é 4; em (y + 2)², o centro tem ordenada -2, porque y + 2 equivale a y − (-2). Quando o centro está na origem, a equação se simplifica para x² + y² = r².

Para verificar se um ponto pertence à circunferência, basta substituir suas coordenadas na equação. Se os dois lados forem iguais, o ponto pertence a ela; se não forem, está dentro ou fora, conforme o resultado da distância ao centro.

Atividades para resolver

Resolva as questões sem olhar o gabarito. Nas atividades que envolvem reta, escreva as etapas algébricas para conferir depois onde uma eventual diferença apareceu.

1. Indique o quadrante de cada ponto: A(-4, 3), B(2, -5), C(-1, -6) e D(5, 4).
2. Calcule a distância entre P(1, 2) e Q(4, 6).
3. Determine o ponto médio do segmento de extremos R(-3, 5) e S(7, -1).
4. Verifique se os pontos A(1, 2), B(3, 6) e C(4, 8) são colineares.
5. Encontre a equação reduzida da reta que passa pelos pontos M(1, 3) e N(3, 7).
6. Determine a equação da reta paralela a y = -2x + 5 que passa pelo ponto (1, 4).
7. Determine a equação da reta perpendicular a y = (1/3)x - 2 que passa pela origem.
8. Na circunferência (x - 2)² + (y + 1)² = 9, informe as coordenadas do centro e o raio.
9. Verifique se o ponto T(5, -1) pertence à circunferência x² + y² = 25.
10. Uma circunferência tem centro em C(-2, 4) e raio 5. Escreva sua equação reduzida.

Gabarito comentado

1. A está no II quadrante; B, no IV; C, no III; e D, no I. Basta analisar os sinais de x e y em cada caso.
2. d(P, Q) = √[(4 - 1)² + (6 - 2)²] = √(9 + 16) = 5.
3. M = ((-3 + 7)/2, (5 - 1)/2) = (2, 2).
4. Sim. O coeficiente angular entre A e B é (6 - 2)/(3 - 1) = 2. Entre B e C, ele é (8 - 6)/(4 - 3) = 2. Como são iguais, os três pontos estão na mesma reta.
5. m = (7 - 3)/(3 - 1) = 2. Usando M(1, 3): y - 3 = 2(x - 1). Logo, y = 2x + 1.
6. A reta paralela tem coeficiente angular -2. Então, y = -2x + n. Substituindo (1, 4), obtém-se 4 = -2 + n, portanto n = 6 e y = -2x + 6.
7. O coeficiente angular da perpendicular é -3, pois (1/3) · (-3) = -1. Como passa pela origem, n = 0. A equação é y = -3x.
8. O centro é C(2, -1) e o raio é 3, já que r² = 9.
9. Sim. Substituindo T: 5² + (-1)² = 25 + 1 = 26. Portanto, não pertence à circunferência. O ponto está fora dela.
10. (x + 2)² + (y - 4)² = 25. Os sinais internos são opostos às coordenadas do centro.

Pontos de revisão

Na geometria analítica, as fórmulas ganham sentido quando associadas ao plano cartesiano. Para estudar com segurança, desenhe pontos e retas sempre que possível, identifique as coordenadas antes de calcular e mantenha os parênteses nas substituições.

• Distância entre dois pontos: aplique Pitágoras às diferenças das coordenadas.
• Ponto médio: calcule a média dos valores de x e a média dos valores de y.
• Reta: encontre a inclinação e use um dos pontos para determinar sua equação.
• Circunferência: localize centro e raio pela comparação com a forma reduzida.

Por fim, confira se o resultado é coerente com o desenho: uma distância não pode ser negativa, e um ponto médio deve ficar entre os extremos do segmento. Esse hábito ajuda a detectar erros de operação e de sinais.